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Um problema de matemática é uma questão que pode ser enunciada em linguagem matemática e/ou analisada por métodos matemáticos. Um problema matemático pode ter uma solução, diversas soluções, ou mesmo nenhuma solução. Muitos problemas estão em aberto, ou seja, sem solução conhecida.

É costumeiro fazer distinção em matemática, entre problemas e exercícios: o exercício não requer invenção ou criação, apenas aplicação de conhecimentos já obtidos.[1] Já para resolver um problema é necessária criatividade, sendo também usadas técnicas aprendidas, ou mesmo processos inatos, de heurística.[2]

Um problema cuja solução foi procurada por séculos até quando se demonstrou sua impossibilidade é a quadratura do círculo.

Índice

Problemas famososEditar

Ao longo dos tempos, muitos problemas matemáticos tornaram-se célebres. Dentre os quais pode-se citar:

  • Quadratura do círculo: Utilizando apenas régua e compasso, desenhar um quadrado cuja área seja a mesma de um círculo dado.
  • Duplicação do cubo: Utilizando apenas régua e compasso, desenhar a aresta de um cubo cujo volume seja o dobro de um cubo dado.
  • Problema de Papo: Dadas quatro retas e quatro ângulos correspondentes, encontre o lugar geométrico de um ponto tal que as distâncias oblíquas do ponto às retas obedeça à relação: d1d2 : d3d4 = constante.[3][4]
  • Problema de Alhazen: Dados uma fonte puntual de luz e um espelho esférico, determine onde fica o ponto no espelho onde um raio de luz é refletido para o olho do observador.[5]
  • Problema da tautócrona: Encontre a curva tal que uma bolinha largada numa pista naquele formato a percorre acelerada pela gravidade num tempo que independe da posição inicial.[6][7]
  • Problema da braquistócrona: Encontre a curva tal que uma bolinha largada numa pista naquele formato a percorre acelerada pela gravidade no menor tempo possível.[6][8]
  • Problema de Monty Hall: Suponha que você está em um game show, e é dada a você a opção de escolha entre três portas: Atrás de uma porta há um carro; atrás das outras, cabras. Você escolhe uma porta, diga-se a Nº 1, e o apresentador, que sabe o que há atrás das portas, abre outra porta, diga-se a Nº 3, em que há uma cabra. Ele então lhe pergunta, "Você quer escolher a porta Nº 2?" É vantajoso mudar sua escolha?

No livro 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution, de Heinrich Dorrie, são apresentados cem problemas marcantes na história da matemática e as soluções encontradas por vários dos mais célebres matemáticos (incluindo soluções de Arquimedes, Isaac Newton, Leonhard Euler, Pierre de Fermat, Carl Gauss e muitos outros).[9][10]


Resolução de problemas vs. desenvolvimento de teoriasEditar

Um artigo de Timothy Gowers, intitulado The Two Cultures of Mathematics (em analogia ao The Two Cultures, de C. P. Snow) tornou-se célebre por fazer uma distinção do que o autor viu como "duas culturas" em pesquisas de matemática: a dos resolvedores de problemas e a dos desenvolvedores de teorias.[11]

Resolução de problemas na educação matemáticaEditar

A resolução de problemas matemáticos é tema central de muitas discussões acerca de métodos de ensino.[12]

No BrasilEditar

A metodologia de ensino de matemática através de atividades de resolução de problemas é pouco usada no Brasil.[13] No Brasil, a metodologia de ensino com base na resolução de problemas é defendida por Jacob Palis:

Ainda no Brasil, Katia Smole vem desenvolvendo um estudo de referência quanto ao trabalho com as situações de problemas matemáticos e sua aplicação na educação, com base nas teorias matemáticas e das múltiplas inteligências.

"Muitos professores acreditarem que as dificuldades apresentadas por seus alunos em ler e interpretar um problema ou exercício de matemática estão associadas a pouca competência que eles têm para leitura. Também é comum a concepção de que, se o aluno tivesse mais fluência na leitura nas aulas de língua materna, conseqüentemente ele seria um melhor leitor nas aulas de matemática.

Embora tais afirmações estejam em parte corretas, pois ler é um dos principais caminhos para ampliarmos nossa aprendizagem em qualquer área do conhecimento, consideramos que não basta atribuir as dificuldades dos alunos em ler problemas a sua pouca habilidade em ler nas aulas de português. A dificuldade que os alunos encontram em ler e compreender textos de problemas estão, entre outras coisas, ligadas à ausência de um trabalho pedagógico específico com o texto do problema, nas aulas de matemática."[15]

Nos Estados UnidosEditar

Em cursos universitários de matemática, Robert Lee Moore utilizava um método de ensino que ficou conhecido como o método de Moore, em que os próprios estudantes tinham que demonstrar os teoremas apresentados em aula pelo professor.[16]

Na RússiaEditar

Na Rússia, o papel da resolução de problemas na educação tem tradicionalmente recebido grande importância,[17][18] e é enfatizado nos cursos de preparação de professores.[19]

Referências

  1. http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/resu1.html
  2. http://www.aapt.org/Conferences/newfaculty/upload/Coop-Problem-Solving-Guide.pdf
  3. http://books.google.com.br/books?id=U4I82SJKqAIC&pg=PA54
  4. http://stephenhuggett.com/Newton.pdf
  5. http://mathworld.wolfram.com/AlhazensBilliardProblem.html
  6. a b http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem1_2008/WellingtonL-Firer_RF2.pdf
  7. http://mathworld.wolfram.com/TautochroneProblem.html
  8. http://mathworld.wolfram.com/BrachistochroneProblem.html
  9. http://www.cut-the-knot.org/books/dorrie/back.shtml
  10. http://books.google.com.br/books/about/100_Great_Problems_of_Elementary_Mathema.html?id=i4SJwNrYuAUC&redir_esc=y
  11. GOWERS, W. T. The Two Cultures of Mathematics.
  12. «LAMONATO, M.; PASSOS, C. L. B. Discutindo resolução de problemas e exploração-investigação matemática: reflexões para o ensino da matemática. Revista Zetetiké, Campinas, vol. 19, nº. 36, julho. / dezembro., 2011.». Consultado em 18 de maio de 2014. Arquivado do original em 18 de maio de 2014 
  13. ZUFFI, E. M.; ONUCHIC, L. R. O Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas e os Processos Cognitivos Superiores. Revista Unión, nº. 11, setembro., 2007.
  14. «Entrevista de Jacob Palis à revista VEJA (jornalistas Monica Weinberg e Roberta de Abreu Lima).» (PDF). Consultado em 18 de maio de 2014. Arquivado do original (PDF) em 15 de maio de 2014 
  15. «Aprender a Ler Problemas em Matemática». MATHEMA. 2 de julho de 2015 
  16. «Revista Matemática Universitária. Uma breve conversa com John Milnor. Revista Matemática Universitária, nº. 9/10, dezembro., 1989.» (PDF). Consultado em 18 de maio de 2014. Arquivado do original (PDF) em 18 de maio de 2014 
  17. «SAFUANOV, Ildar. Development of problem solving and fostering of creativity in USSR and Russia.» (PDF). Consultado em 18 de maio de 2014. Arquivado do original (PDF) em 18 de maio de 2014 
  18. TOOM, A. A Russian Teacher in America. Journal of Mathematical Behavior 12, 117-139 (1993).
  19. VOGELI, B. R. Russian Mathematics Education: History and World Significance, p. 304.

Ver tambémEditar