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Uma representação simples de um processo de Wiener unidimensional

Em matemática, o processo de Wiener é um processo estocástico de tempo contínuo, que recebe este nome em homenagem a Norbert Wiener. É frequentemente chamado de processo de movimento browniano padrão ou movimento browniano devido a sua conexão histórica com o processo físico conhecido como movimento browniano primeiramente observado por Robert Brown. Foi também estudado por Albert Einstein.[1] É um dos mais conhecidos processos de Lévy (processos estocásticos càdlàg com incrementos independentes estacionários) e ocorre frequentemente em matemática pura e aplicada, economia, matemática financeira e física.

Uma representação simples de um processo de Wiener tridimensional

O processo de Wiener desempenha um papel importante tanto na matemática pura, quanto na aplicada. Em matemática pura, o processo de Wiener fez surgir o estudo de martingales de tempo contínuo. É um processo-chave em cujos termos processos estocásticos mais complicados podem ser descritos, em especial, por ser um dos únicos processos que é, ao mesmo tempo, martingale e markoviano. Como tal, desempenha um papel vital no cálculo estocástico, nos processos de difusão e, até mesmo, na teoria do potencial. É o processo condutor da evolução de Schramm-Loewner. Em matemática aplicada, o processo de Wiener é usado para representar a integral de um processo gaussiano de ruído branco, que é útil no que se refere a modelos de ruído na engenharia eletrônica (veja ruído browniano), erros de instrumento em teoria da filtragem e forças desconhecidas em teoria de controle.[2]

O processo de Wiener tem aplicações por todas as ciências matemáticas. Em física, é usado para estudar o movimento browniano, a difusão de partículas mínimas suspensas em fluido, e outros tipos de difusão via equações de Langevin e Fokker-Planck. Também constitui a base da formação de integrais de caminho da mecânica quântica[3] (pela fórmula de Feynman-Kac, uma solução à equação de Schrödinger que pode ser representada nos termos do processo de Wiener) e do estudo da inflação eterna na cosmologia física. Também é proeminente na teoria matemática das finanças, em particular no modelo Black-Scholes de precificação de opções.

Caracterizações do processo de WienerEditar

O processo de Wiener   é caracterizado pelas seguintes propriedades:[4][5]

  1.   q.c.
  2.   tem incrementos independentes: para todo  , os incrementos futuros  ,  , são independentes dos valores passados  ,  .
  3.   tem incrementos gaussianos:   é normalmente distribuído com média   e variância  ,  
  4.   tem caminhos contínuos: com probabilidade  ,   é contínuo em  .

Por incrementos independentes, diz-se que, se  , então   e   são variáveis aleatórias independentes e a mesma condição se mantém para   incrementos.

Uma caracterização alternativa do processo de Wiener é a então chamada caracterização de Lévy, que diz que o processo de Wiener é um martingale quase certamente contínuo com   e variação quadrática   (o que significa que   é também um martingale).

Uma terceira caracterização diz que o processo de Wiener tem um representação espectral como uma série de senos cujos coeficientes são variáveis aleatórias independentes  . Esta representação pode ser obtida usando o teorema de Karhunen-Loève.

Outra caracterização de um processo de Wiener é a integral definida (de   ao tempo  ) de um processo gaussiano ("branco") delta-correlacionado com variância   e média  .

O processo de Wiener pode ser construído como o limite escalar de um passeio aleatório ou outros processos estocásticos de tempo discreto com incrementos independentes estacionários. Isto é conhecido como teorema de Donsker. Assim como o passeio aleatório, o processo de Wiener é recorrente em uma ou duas dimensões (o que significa que ele retorna quase certamente a qualquer vizinhança fixada da origem infinitas vezes), mas não é recorrente em três ou mais dimensões. Diferentemente do passeio aleatório, tem como característica a invariância de escala, o que significa que

 

é um processo de Wiener para qualquer constante   não nula. A medida de Wiener é a lei probabilística no espaço das funções contínuas  , com  , induzido pelo processo de Wiener. Uma integral baseada na medida de Wiener pode ser chamada de integral de Wiener.

Processo de Wiener como um limite do passeio aleatórioEditar

Considere   variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média   e variância  . Para cada  , defina um processo estocástico de tempo contínuo

 

Esta é uma função passo aleatório. Incrementos de   são independentes porque   são independentes. Para   grande,  é próximo de   pelo teorema central do limite. Conforme  ,   se aproximará de um processo de Wiener. A prova desta afirmação é oferecida pelo teorema de Donsker. Esta formulação explicou por que o movimento browniano é ubíquo.[6]

Propriedades de um processo de Wiener unidimensionalEditar

Propriedades básicasEditar

A função densidade de probabilidade incondicional, que segue distribuição normal com média igual a   e variância igual a  , em um tempo fixado  :

 

O valor esperado é zero:

 

A variância, usando a fórmula algébrica para a variância, é t:

 

Covariância e correlaçãoEditar

A covariância e a correlação:

 
 

Os resultados para o valor esperado e a variância seguem imediatamente da definição de que os incrementos têm uma distribuição normal, centrada em zero. Assim

 

Os resultados para a covariância e a correlação seguem da definição de que incrementos não sobrepostos são independentes, da qual apenas a propriedade de que eles não são correlacionados é usada. Suponha que  .

 

Substituindo

 

Chegamos em:

 

Já que   e   são independentes,

 

Assim

 

Representação de WienerEditar

Wiener (1923) também deu uma representação de um caminho browniano em termos de uma série aleatória de Fourier. Se   são variáveis gaussianas independentes com média   e variância  , então

 

e

 

representa um movimento browniano em  . O processo escalado

 

é um movimento browniano em   (vide teorema de Karhunen-Loève).

Máximo correnteEditar

A distribuição conjunta do máximo corrente

 

e   é

 

Para obter a distribuição incondicional de  , integra-se ao longo de  :

 

E o valor esperado[7]

 

Se em   o processo de Wiener tem um valor conhecido  , é possível calcular a distribuição de probabilidade condicional do máximo no intervalo   (vide a distribuição de probabilidade de pontos extremos de um processo estocástico de Wiener).

AutossemelhançaEditar

 
Uma demonstração do escalamento browniano, mostrando que  para c decrescente. Note que as características gerais da função não mudam enquanto se aproxima e que a velocidade da ampliação na horizontal é igual ao quadrado da velocidade da ampliação na vertical.

Escalamento brownianoEditar

Para todo  , o processo   é outro processo de Wiener.

Reversão de tempoEditar

O processo   para   é distribuído como   para  .

Inversão de tempoEditar

O processo   é outro processo de Wiener.

Uma classe de martingales brownianosEditar

Se uma função polinomial   satisfaz a equação diferencial parcial

 

então o processo estocástico

 

é um martingale.

Exemplo:   é um martingale, que mostra que a variação quadrática de   em   é igual a  . Segue-se que o tempo de primeira saída esperado de   de   é igual a  .

Mais geralmente, para toda função polinomial  , o seguinte processo estocástico é um martingale:

 

em que   é a função polinomial

 

Exemplo:     o processo

 

é um martingale, que mostra que a variação quadrática do martingale   on [0, t]  é igual a

 

Algumas propriedades de caminhos amostraisEditar

O conjunto de todas as funções   com estes propriedades é composto inteiramente por medidas de Wiener. Isto é, um caminho (função amostral) do processo de Wiener tem todas estas propriedades quase certamente.

Propriedades qualitativasEditar

  • Para todo  , a função   assume tanto valores (estritamente) positivos, como (estritamente) negativos em  .
  • A função   é contínua em todo lugar, mas diferenciável em lugar nenhum (assim como a função de Weierstrass).
  • Pontos do máximo local da função   são um conjunto contável denso; os valores máximos são diferentes por pares; cada máximo local é agudo na seguinte acepção: se   tem um máximo local em  , então
 
O mesmo se aplica a mínimos locais.
  • A função   não tem nenhum ponto de crescimento local, isto é, nenhum   satisfaz as seguintes condições para algum   em  : em primeiro lugar,   para todo   em  , e em segundo lugar,   para todo   em  . O crescimento local é uma condição mais fraca do que aquela referente ao crescimento de   em  . O mesmo se aplica ao decrescimento local.
  • A função   é de variação limitada em todo intervalo.
  • A variação quadrática de   ao longo de   é  .
  • Os zeros da função   são um conjunto perfeito denso em lugar nenhum com medida de Lebesgue 0 e dimensão de Hausdorff   (portanto, incontável).

Propriedades quantitativasEditar

Lei do logaritmo iteradoEditar
 
Módulo de continuidadeEditar

Módulo local de continuidade:

 

Módulo global de continuidade (Lévy):

 

Tempo localEditar

A imagem da medida de Lebesgue em   sob o mapa   (a medida imagem) tem uma densidade  . Assim,

 

para uma ampla classe de funções   (nomeadamente, todas as funções contínuas, todas as funções localmente integráveis, todas as funções não negativas mensuráveis). A densidade   é (mais exatamente, pode ser e será escolhida como) contínua. O número  é chamado de tempo local em   de   ao longo de  . É estritamente positiva para todo   do intervalo  , em que   e   são o menor e o maior valor de   em  , respectivamente. Para   fora deste intervalo, o tempo local evidentemente desaparece. Tratado como uma função de duas variáveis   e  , o tempo local é ainda contínuo. Tratado como uma função de   (em que   está fixado), o tempo local é uma função singular correspondente à medida não atômica sobre o conjunto de zeros de  .

Estas propriedades de continuidade são razoavelmente não triviais. Considere que o tempo local também possa ser definido (como a densidade da medida imagem) para uma função suave. Por consequência, entretanto, a densidade é descontínua, a não ser que a função dada seja monótona. Em outras palavras, há um conflito entre o bom comportamento de uma função e o bom comportamento de seu tempo local. Neste sentido, a continuidade do tempo local para o processo de Wiener é outra manifestação da não suavidade da trajetória

Processos relacionadosEditar

 
Processos de Wiener com deriva (azul) e sem deriva (vermelho).
 
Processos de Wiener bidimensionais com deriva (azul) e sem deriva (vermelho).
 
Um gerador de movimento browniano é o produto do operador de Laplace-Beltrami por 0,5. A imagem acima é de um movimento browniano em uma variedade especial: a superfície de uma esfera.

O processo estocástico definido por

 

é chamado de processo de Wiener com deriva   e variância infinitesimal  . Estes processos representam todos os processos de Lévy contínuos.

Dois processos aleatórios no intervalo de tempo   aparecem, grosso modo, quando se condiciona o processo de Wiener a desaparecer nos dois extremos de  . Quando não se condiciona mais, o processo assume tanto valores positivos, como negativos em   e é chamado de ponte browniana. Condicionado a permanecer positivo em  , o processo é chamado de excursão browniana.[8] Em ambos os casos, um tratamento rigoroso envolve um procedimento limitante, já que a fórmula   não se aplica quando  .

Um movimento browniano geométrico pode ser escrito como

 

É um processo estocástico usado para modelar processos que nunca podem assumir valores negativos, tais como os valores de ações.

O processo estocástico

 

é distribuído como o processo de Ornstein-Uhlenbeck.

O tempo de chegada a um único ponto   pelo processo de Wiener é uma variável aleatória com distribuição de Lévy. A família destas variáveis aleatórias (indexadas por todos os números positivos  ) é uma modificação contínua à esquerda do processo de Lévy. A modificação contínua à direita deste processo é dada pelos tempos de primeira saída a partir de intervalos fechados  .

O tempo local   de um movimento browniano descreve o tempo que o processo passa no ponto  . Formalmente,

 

em que   é a função delta de Dirac. O comportamento do tempo local é caracterizado pelos teoremas de Ray-Knight.

Martingales brownianosEditar

Considere   um evento relacionado ao processo de Wiener (mais formalmente, um conjunto, mensurável no que se refere à medida de Wiener, no espaço de funções), e   a probabilidade condicional de   dado o processo de Wiener no intervalo de tempo   (mais formalmente, a medida de Wiener do conjunto de trajetórias cuja concatenação com a trajetória parcial dada em   pertence a  ). Então, o processo   é um martingale contínuo. Sua propriedade martingale deriva imediatamente das definições, mas sua continuidade é um fato muito especial – um caso especial de um teorema geral que afirma que todos os martingales brownianos são contínuos. Um martingale browniano é, por definição, um martingale adaptado à filtração browniana, sendo esta, por definição, a filtração gerada pelo processo de Wiener.

Movimento browniano integradoEditar

A integral do tempo do processo de Wiener

 

é chamada de movimento browniano integrado ou processo de Wiener integrado. Aparece em muitas aplicações e pode-se mostrar por cálculo que tem distribuição  , usando o fato de que a covariância do processo de Wiener é  .[9]

Mudança de tempoEditar

Todo martingale contínuo (a partir da origem) é um processo de Wiener com tempo mudado.

Exemplo:  , em que   é outro processo de Wiener (diferente de  , mas distribuído como  ).

Exemplo:  , em que   e   é outro processo de Wiener.

Geralmente, se   for um martingale contínuo, então   , em que   é a variação quadrática de   em   e   é um processo de Wiener.

Corolário: Considere   um martingale contínuo e

 
 

Então, apenas os dois casos seguintes são possíveis:

 
 

outros casos (tais como      , etc.) são de probabilidade  .

Especialmente, um martingale contínuo não negativo tem um limite finito (como  ) quase certamente.

Tudo o que foi afirmado nesta subseção sobre martingales também se aplica a martingales locais.

Mudança de medidaEditar

Uma classe ampla de semimartingales contínuos (especialmente, de processos de difusão) está relacionada ao processo de Wiener por meio de uma combinação de mudança de tempo e mudança de medida.

Usando este fato, as propriedades qualitativas afirmadas acima para o processo de Wiener podem ser generalizadas para uma classe ampla de semimartingales contínuos.[10][11]

Processo de Wiener de valores complexosEditar

O processo de Wiener de valores complexos pode ser definido como um processo aleatório de valores complexos da forma   em que   são processos de Wiener independentes (de valores reais).[12]

AutossemelhançaEditar

O escalamento browniano, a reversão de tempo e a inversão de tempo são iguais aos do caso com valores reais.

Quanto à invariância de rotação, para cada número complexo   tal que  , o processo   é outro processo de Wiener de valores complexos

Mudança de tempoEditar

Se   for uma função inteira, então, o processo   é um processo de Wiener de valores complexos com mudança de tempo.

Exemplo:   em que

 

e   é outro processo de Wiener de valores complexos.

Em contraste com o caso de valores reais, um martingale de valores complexos geralmente não é um processo de Wiener de valores complexos com mudança de tempo. Por exemplo, o martingale 2Xt + iYt  não é (aqui   são processos de Wiener independentes, assim como antes).

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar

  1. Einstein, Albert (1 de janeiro de 2005). Einstein's Miraculous Year: Five Papers that Changed the Face of Physics (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 9780691122281 
  2. Stark (1 de setembro de 2002). Probability And Random Processes With Application To Signal Processing, 3/E (em inglês). [S.l.]: Pearson Education. ISBN 9788177583564 
  3. Kleinert, Hagen (1 de janeiro de 2009). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789814273558 
  4. Kloeden, Peter E.; Platen, Eckhard (17 de abril de 2013). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662126165 
  5. Durrett, Rick (30 de agosto de 2010). Probability: Theory and Examples (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9781139491136 
  6. «MathFinance 345». www.stat.uchicago.edu. Consultado em 20 de abril de 2017 
  7. Shreve, Steven E. (3 de junho de 2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9780387401010 
  8. Vervaat, Wim (1 de fevereiro de 1979). «A Relation between Brownian Bridge and Brownian Excursion». The Annals of Probability (em inglês). 7 (1): 143–149. ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1176995155 
  9. «Wiener Integral - wilmott.com». forum.wilmott.com (em inglês). Consultado em 20 de abril de 2017 
  10. Revuz, Daniel; Yor, Marc (7 de setembro de 2004). Continuous Martingales and Brownian Motion (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540643258 
  11. Doob, Joseph L. (1 de janeiro de 1953). Stochastic Processes (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9780471218135 
  12. Navarro-Moreno, J.; Estudillo-Martinez, M. D.; Fernandez-Alcala, R. M.; Ruiz-Molina, J. C. (1 de junho de 2009). «Estimation of Improper Complex-Valued Random Signals in Colored Noise by Using the Hilbert Space Theory». IEEE Transactions on Information Theory. 55 (6): 2859–2867. ISSN 0018-9448. doi:10.1109/TIT.2009.2018329 

Ligações externasEditar