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Em matemática, o produto de Wallis para π, expresso em 1655 por John Wallis, estabelece que

Comparação da convergência do produto de Wallis (asteriscos em roxo) e diversas séries infinitas históricas para π. Sn é a aproximação após tomar n termos. Cada subsequente subplotagem magnifica a área sombreada horizontalmente por 10 vezes. (clicar para detalhe)

Índice

DeduçãoEditar

Wallis deduziu este produto infinito como ele é apresentado atualmente em livros de cálculo, examinando   para valores pares e ímpares de n, e notando que para grandes n, aumentando n por 1 resulta em uma mudança que torna-se menor quando n aumenta. Como o cálculo infinitesimal moderno ainda não existia, e a análise matemática naquela época era inadequada para discutir as questões de convergência, esta era uma pesquisa difícil bem como também uma tentativa.

O produto de Wallis é, em retrospecto, um corolário fácil da posterior fórmula de Euler para a função senoidal. Em 2015 os pesquisadores Carl Richard Hagen e Tamar Friedmann, em uma descoberta surpresa, encontraram a mesma fórmula nos cálculos da mecânica quântica dos níveis de energia de um átomo de hidrogênio.[1][2][3][4][5]

Prova usando o produto infinito de Euler para a função seno[6]Editar

 

Seja x = π2:

 

Prova usando integração[7]Editar

Seja:

 

(uma forma da integral de Wallis). Integração por partes:

 
 

Este resultado será usado abaixo:

 

Repetindo o processo,

 
 

Repetindo o processo,

 
 
 
 , from above results.

Pelo teorema do confronto,

 
 
 

Relação com a aproximação de StirlingEditar

A fórmula de Stirling para n! estabelece que

 .

Considere agora as aproximações finitas para o produto de Wallis, obtidas tomando os primeiros k termos no produto:

 

pk pode ser expresso como

 

Substituindo a aproximação de Stirling nesta expressão (para k! e (2k)!) pode-se deduzir (após curto cálculo) que pk converge para π2 quando k → ∞.

ζ'(0)[6]Editar

A função zeta de Riemann e a função eta de Dirichlet podem ser difinidas:

 

Aplicando uma transformação de Euler à última série, obtém-se o seguinte

 
 

Referências

Ligações externasEditar