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Produto de matrizes

Em matemática, o produto de duas matrizes é definido somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Se A é uma matriz m×n (A também pode ser denotada por ) e B é uma matriz n×p, então seu produto é uma matriz m×p[1] definida como AB (ou por A · B). O elemento de cada entrada da matriz AB (o qual denotaremos por ) é dado pelo produto da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B[2], ou seja,

para cada par i e j com 1 ≤ im e 1 ≤ jp.

Calculando diretamente a partir da definiçãoEditar

A figura à esquerda mostra como calcular o elemento (1,2) e o elemento (3,3) de AB se A é uma matriz 4×2, e B é uma matriz 2×3. Elementos de cada matriz são postos par a par na direcção das setas; cada par é multiplicado e os produtos são somados. A posição do número resultante em AB corresponde à linha e coluna que foi considerada.

 
 

PropriedadesEditar

  • Multiplicação de matrizes não é em geral comutativa, ou seja, ABBA (exceto em casos especiais). Eis um exemplo:

Sejam   e   Note que

 

 
e AB ≠ BA.

Quando AB = BA, diz-se que A e B comutam[3].

  • Embora a multiplicação de matrizes não seja comutativa, os determinantes de AB e BA são sempre iguais (se A e B são matrizes quadradas de dimensões iguais). Veja o artigo sobre determinantes para esclarecimento.
  • O produto é associativo, ou seja[1]:

 
  • O produto distribui sob a soma[1]:

 
 
  • Sejam A uma matriz de ordem m×n, B uma matriz de ordem n×p e   um número real, então vale que:

 [4].

  • Se A for uma matriz de ordem m×n, então vale que:

 [4], pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de   De modo semelhante, o número de colunas de   é igual ao número de linhas da matriz A.

Observações:

  • No caso das matrizes, se AB = 0, não necessariamente A = 0 ou B = 0[3], pois podemos ter

  e  

tais que

 

Mas se tivermos A.0, então o resultado necessariamente será 0 (0 denota a matriz nula)[2].

  • A lei do cancelamento não é válida, pois se A ≠ 0 e AB = AC, pode acontecer que B ≠ C[3]. O caso a seguir ilustra isso:

Sejam     e  

Note que AB = AC, pois

 

 

porém B ≠ C.

Definições importantes de matrizes derivadas das propriedades da multiplicaçãoEditar

  • Uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se tiver uma inversa   de tal maneira que sua multiplicação resulte na matriz identidade, ou seja,  
  • Neste caso, vale a comutatividade e  [1].

Algoritmos para a multiplicar matrizes eficientementeEditar

Problemas não resolvidos em ciência da computação
Qual é o algoritmo mais rápido para a multiplicação de matrizes?  

O tempo de execução da multiplicação de matrizes quadradas, se efetuada de forma intuitiva, é   O tempo de execução para a multiplicação de matrizes retangulares (uma matriz m×p e outra p×n) é O(mnp), no entanto, existem algoritmos mais eficientes, tais como o algoritmo de Strassen, concebido por Volker Strassen em 1969, e chamado frequentemente de "multiplicação rápida de matrizes". Ele baseia-se em uma forma de multiplicar matrizes 2×2 que exige apenas 7 multiplicações (em vez das 8 usuais), em troca de fazer algumas oprerações de adição e subtração. A aplicação recursiva desse método produz um algoritmo cujo custo multiplicativo é   O algoritmo de Strassen é mais complexo se comparado com o algoritmo intuitivo, e ele carece de estabilidade numérica. Mesmo assim, está disponível em diversas bibliotecas, tais como BLAS, em que sua eficiência é significativamente maior para matrizes de dimensão n > 100[5], e é muito útil para matrizes grandes sobre domínios exatos tais como corpos finitos, em que a estabilidade numérica não é um problema.

Notas e referências

  1. a b c d e Lay, David C. (2015). Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC 
  2. a b Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc Lars (2011). Álgebra Linear 4 ed. Porto Alegre: Bookman. 432 páginas 
  3. a b c José Ruy, Giovanni (2002). Matemática fundamental: uma nova abordagem. São Paulo: FTD 
  4. a b Steinbruch, Alfredo; Winterle, Paulo (1987). Álgebra Linear. São Paulo: Pearson 
  5. Press 2007, p. 108.

ReferênciasEditar

Ligações externasEditar

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