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No cálculo algébrico, algumas expressões representadas por produtos de expressões algébricas , aparecem com muita frequência. Pela importância que representam no cálculo algébrico , essas expressões são denominadas Produtos Notáveis e são utilizados principalmente para a fatoração de polinômios e evitar erros com sinais.[ 1]
Quadrado da soma de dois termos Editar
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
.
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}
Regra básica : Quadrado do primeiro termo, somado ao dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, somado ao quadrado do segundo termo.[ 2]
Prova :
(
a
+
b
)
2
=
(
a
+
b
)
⋅
(
a
+
b
)
=
a
⋅
(
a
+
b
)
+
b
⋅
(
a
+
b
)
=
a
2
+
a
b
+
a
b
+
b
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot (a+b)+b\cdot (a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
Exemplo:
(
4
x
5
y
+
z
)
2
=
(
4
x
5
y
+
z
)
⋅
(
4
x
5
y
+
z
)
=
4
x
5
y
⋅
(
4
x
5
y
+
z
)
+
z
⋅
(
4
x
5
y
+
z
)
=
16
x
2
25
y
2
+
4
x
z
5
y
+
4
x
z
5
y
+
z
2
=
16
x
2
25
y
2
+
8
x
z
5
y
+
z
2
{\displaystyle \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)^{2}=\left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)\cdot \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)={\dfrac {4x}{5y}}\cdot \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)+z\cdot \left({\dfrac {4x}{5y}}+z\right)={\dfrac {16x^{2}}{25y^{2}}}+{\dfrac {4xz}{5y}}+{\dfrac {4xz}{5y}}+z^{2}={\dfrac {16x^{2}}{25y^{2}}}+{\frac {8xz}{5y}}+z^{2}}
(
8
x
+
a
)
2
=
(
8
x
+
a
)
⋅
(
8
x
+
a
)
=
8
x
⋅
(
8
x
+
a
)
+
a
⋅
(
8
x
+
a
)
=
64
x
2
+
8
a
x
+
8
a
x
+
a
2
=
64
x
2
+
16
a
x
+
a
2
{\displaystyle (8x+a)^{2}=(8x+a)\cdot (8x+a)=8x\cdot (8x+a)+a\cdot (8x+a)=64x^{2}+8ax+8ax+a^{2}=64x^{2}+16ax+a^{2}}
Quadrado da diferença de dois termos Editar
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
Regra básica : Quadrado do primeiro termo, subtraído o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo, somado ao quadrado do segundo termo.
Prova :
(
a
−
b
)
2
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
−
b
)
=
a
⋅
(
a
−
b
)
−
b
⋅
(
a
−
b
)
=
a
2
−
a
b
−
a
b
+
b
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot (a-b)-b\cdot (a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
Exemplos :
(
3
m
4
n
−
p
)
2
=
9
m
2
16
n
2
−
3
m
p
2
n
+
p
2
{\displaystyle \left({\frac {3m}{4n}}-p\right)^{2}={\frac {9m^{2}}{16n^{2}}}-{\frac {3mp}{2n}}+p^{2}}
(
1
−
2
x
)
2
=
1
−
4
x
+
4
x
2
{\displaystyle (1-2x)^{2}=1-4x+4x^{2}}
Produto da soma pela diferença de dois termos Editar
(
a
+
b
)
⋅
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}
Regra básica : Quadrado do primeiro termo subtraído o quadrado do segundo termo.
Prova :
(
a
+
b
)
⋅
(
a
−
b
)
=
a
2
−
a
b
+
a
b
−
b
2
=
a
2
+
a
b
⋅
(
1
−
1
)
−
b
2
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}+ab\cdot (1-1)-b^{2}=a^{2}-b^{2}}
Exemplos :
(
a
2
+
b
3
)
⋅
(
a
2
−
b
3
)
=
a
4
−
a
2
b
3
+
a
2
b
3
−
b
6
=
a
4
+
a
2
b
3
⋅
(
1
−
1
)
−
b
6
=
a
4
−
b
6
{\displaystyle (a^{2}+b^{3})\cdot (a^{2}-b^{3})=a^{4}-a^{2}b^{3}+a^{2}b^{3}-b^{6}=a^{4}+a^{2}b^{3}\cdot (1-1)-b^{6}=a^{4}-b^{6}}
(
a
x
+
2
)
.
(
a
x
−
2
)
=
a
2
x
2
−
2
a
x
+
2
a
x
−
4
=
a
2
x
2
+
2
a
⋅
(
1
−
1
)
x
−
4
=
a
2
x
2
−
4
{\displaystyle \left({\frac {a}{x}}+2\right).\left({\frac {a}{x}}-2\right)={\frac {a^{2}}{x^{2}}}-{\frac {2a}{x}}+{\frac {2a}{x}}-4={\frac {a^{2}}{x^{2}}}+{\frac {2a\cdot (1-1)}{x}}-4={\frac {a^{2}}{x^{2}}}-4}
Cubo da soma de dois termos Editar
Decomposição volumétrica do binômio ao cubo
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
Regra básica : O cubo do primeiro termo, somado o triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo, somado ao triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo, somado ao cubo do segundo termo.
Exemplos :
(
m
+
3
n
)
3
=
m
3
+
3
⋅
m
2
⋅
3
n
+
3
⋅
m
⋅
(
3
n
)
2
+
(
3
n
)
3
=
m
3
+
9
m
2
n
+
27
m
n
2
+
27
n
3
{\displaystyle (m+3n)^{3}=m^{3}+3\cdot m^{2}\cdot 3n+3\cdot m\cdot (3n)^{2}+(3n)^{3}=m^{3}+9m^{2}n+27mn^{2}+27n^{3}}
(
x
+
2
)
3
=
x
3
+
6
x
2
+
12
x
+
8
{\displaystyle (x+2)^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8}
(
a
+
3
b
)
3
=
a
3
+
9
a
2
b
+
27
a
b
2
+
27
b
3
{\displaystyle (a+3b)^{3}=a^{3}+9a^{2}b+27ab^{2}+27b^{3}}
Cubo da diferença de dois termos Editar
Quadrado da soma de três termos Editar
Produto de Stevin (produto de 2 binômios com um termo comum) Editar
Produto de Warring Editar
(
a
+
b
)
⋅
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
=
a
3
+
b
3
{\displaystyle (a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}}
Prova : Considerando
(
a
+
b
)
⋅
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
,
{\displaystyle (a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2}),}
temos:
(
a
+
b
)
⋅
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
=
a
3
−
a
2
b
+
a
b
2
+
a
2
b
−
a
b
2
+
b
3
=
a
3
+
b
3
.
{\displaystyle (a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}.}
(
x
+
5
)
⋅
(
x
2
−
5
x
+
25
)
=
x
3
+
5
3
=
x
3
+
125
{\displaystyle (x+5)\cdot (x^{2}-5x+25)=x^{3}+5^{3}=x^{3}+125}
(
2
x
+
3
)
⋅
(
4
x
2
−
6
x
+
9
)
=
(
2
x
)
3
+
3
3
=
8
x
3
+
27
{\displaystyle (2x+3)\cdot (4x^{2}-6x+9)=(2x)^{3}+3^{3}=8x^{3}+27}
(
a
−
b
)
⋅
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
=
a
3
−
b
3
{\displaystyle (a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}}
Prova : Considerando
(
a
−
b
)
⋅
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
,
{\displaystyle (a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2}),}
temos:
(
a
−
b
)
⋅
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
=
a
3
+
a
2
b
−
a
b
2
−
a
2
b
+
a
b
2
−
b
3
=
a
3
−
b
3
{\displaystyle (a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}+a^{2}b-ab^{2}-a^{2}b+ab^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}}
Exemplo
(
x
−
3
)
⋅
(
x
2
+
3
x
+
9
)
=
x
3
−
3
3
=
x
3
−
27
{\displaystyle (x-3)\cdot (x^{2}+3x+9)=x^{3}-3^{3}=x^{3}-27}
Notas e referências
Referências
Ligações externas Editar