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Progressão aritmética

sequência de números com uma diferença constante entre termos consecutivos

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante O número é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.[1][2][3]

Índice

DefiniçãoEditar

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica   definida recursivamente por:[2][3]

 

onde o primeiro termo,   é um número dado. O número   é chamado de razão da progressão aritmética.

Notamos que:

 

ExemplosEditar

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

  •   é uma progressão aritmética em que o primeiro termo   é igual a   e a razão   é igual a  
  •   é uma P.A. em que   e  
  •   é uma P.A. com   e  

Fórmula do termo geralEditar

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por   pode ser obtido por meio da fórmula:[1][2][3]

 
em que:
  •   é o primeiro termo;
  •   é a razão.

DemonstraçãoEditar

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

  • Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto  
  • Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para   ou seja, que   resulta que o n-ésimo termo é dado por:

 

PropriedadesEditar

Como consequência direta da fórmula do termo geral, vemos que o  -ésimo termo de uma P.A. pode ser obtido como função do  -ésimo termo por:

 

efeito,  

Além disso, também é consequência direta da fórmula do termo geral que:

 

ou seja, a partir do segunda termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor. De fato:

 

Soma dos termos de uma progressão aritméticaEditar

 
A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de   até   é dada pelo produto do número de termos no intervalo, (q - p + 1), pela média aritmética dos extremos do intervalo. Ou seja, pela seguinte fórmula:

 

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:

 
ou
 

Exemplo: Seja   qual é a soma dos 4 primeiros números?

 

DemonstraçõesEditar

Considerando a PA   a soma   de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:

 
 

Somando membro a membro, obtemos:

 
 

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA

 
 

e assim por diante

 

Então, como há   pares de termos:

 
 

Interpolação aritméticaEditar

Dada uma sequência finita   chamamos   e   de termos extremos e os demais de termos meios. Interpolação aritmética é o procedimento de inserir (interpolar)   meios entre dois números dados   e   de forma a obtermos uma progressão aritmética de   termos, sendo   e   seus extremos.[2]

A P.A. que corresponde a interpolação aritmética de   termos meios entre dois números dados   e   tem primeiro termo   e razão:

 

Com efeito, vemos que tomando   temos a fórmula do termo geral da P.A. nos garante que:

 

como queríamos.

Tipos de progressões aritméticasEditar

Progressão aritmética constanteEditar

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.[2][3]

Exemplos de progressões aritméticas constantes:

  •   tem razão r = 0
  •   tem razão r = 0

Progressão aritmética crescenteEditar

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).[2][3]

Exemplos de progressões aritméticas crescentes:

  •   com razão r = 2
  •   com razão r = 3

Progressão aritmética decrescenteEditar

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).[2][3]

Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:

  •   tem razão igual a -2
  •   tem razão igual a -3

Progressão aritmética de segunda ordemEditar

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números   em que as diferenças entre os termos consecutivos   forma uma progressão aritmética.[4] Por exemplo, a sequência:

 

uma progressão aritmética de segunda ordem, onde a diferença entre os termos consecutivos   é uma progressão aritmética de primeiro termo   e razão  

De forma geral, uma progressão aritmética de ordem   é uma sequência de números em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma progressão aritmética de ordem   [4][5].

Progressão aritmética de ordem qualquerEditar

Generalizando-se para o caso de uma sequência de ordem k, as fórmulas abaixo se aplicam para uma sequência de qualquer ordem. O primeiro termo dessa sequência é aqui designado por   a razão primária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência primária) por   a razão secundária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência formada pelas razões primárias) por   .. a razão de ordem k por   De modo semelhante ao fato de dois pontos serem suficientes para se determinar uma reta, com dois valores de uma sequência de ordem 1 (linear) e a posição que ocupam, é possível escrever a equação dessa sequência. Para uma sequência de ordem 2, são necessários e suficientes 3 valores. Em geral, para uma sequência de ordem   são necessários   valores. Para uma sequência de ordem k, o termo geral é calculado por:

 

Nota: os coeficientes   são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

 
onde   e   são inteiros,   e   é o fatorial de x.

O coeficiente binomial   corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n-1 elementos agrupados m a m.

A soma dos primeiros termos da sequência ( ) é calculada por:

 

Exemplificando: 1) Determinar o termo geral da sequência {4, 9, 16, 25, 36, 49...}. Sendo   o n-ésimo termo dessa sequência. É possível ver que se trata de uma sequência de segunda ordem porque a razão secundária é constante (neste caso é igual a 2), como mostrado abaixo. Generalizando, em uma sequência de ordem k, a sua razão de ordem k é constante.

 
 
 
 
 
 
 

Aplicando-se a fórmula:

 

 

 

 
2) Encontrar a soma dos n primeiros termos dessa sequência ( ). De modo semelhante ao realizado acima:
 

 

 

3) Em uma sequência de terceira ordem, o sétimo termo é igual a 345, o décimo termo é igual a 1002, o décimo quinto termo é igual a 3377 e o vigésimo quinto termo é igual a 15627.

a) Determine o trigésimo termo dessa sequência.
b) Escreva a equação que determina o n-ésimo termo dessa sequência em função de  

a) Usando-se os dados fornecidos (em azul) na fórmula do  

 

 

Como   vem:

 

Da mesma forma, para os outros dados:

 

 

 
Desenvolvendo-se as expressões acima, obtemos esse sistema de equações lineares:
 
O conjunto solução desse sistema   é:
 
Aplicando-se a fórmula para o caso   obtemos  
 
 
 
Calculando-se a expressão acima, obtém-se:
 
b) De modo semelhante ao usado no exemplo 1, agora que possuímos os valores das razões   e   basta substituir os seus valores na fórmula de  

 
 
 
Logo:
 
Obs. Uma das propriedades dos números binomiais, a relação de Sfifeel, diz que:
 
Isso permite verificar uma propriedade de autoconsistência das fórmulas:

 
Considerando-se também o princípio da indução matemática e uma das propriedades dos somatórios,

  que, multiplicando-se os dois lados da equação por um número   esta se torna:

 

esse fato já demonstra as fórmulas apresentadas sobre as sequências aritméticas de ordem   A fórmula é válida para   ou seja,

 

 

 

  que equivale à expressão mostrada acima.

Progressões Aritmético-GeométricasEditar

São progressões aritméticas e geométricas ao mesmo tempo. Considere uma seqüência   cujo termo geral é   com  

Veja que se   ela se reduz à fórmula do termo geral de uma progressão aritmética ( ) e se   temos a fórmula de uma progressão geométrica, ( ).

A fórmula para a soma dos   primeiros termos dessa sequência [6] é:

 

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b Spiegel, Murray R. Teoria e problemas de álgebra 2 ed. [S.l.]: Bookman. p. 251. ISBN 9788536303406 
  2. a b c d e f g Iezzi, G.; et al. (2012). Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 4 8 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535717488 
  3. a b c d e f Medeiros, V. Z.; et al. (2013). Pré-Cálculo 3 ed. [S.l.]: Trilha. ISBN 9788522116126 
  4. a b Lima, E. L.; et al. (2006). A Matemática do Ensino Médio - Volume 2 6 ed. [S.l.]: SBM. ISBN 8585818115 
  5. Courant, Richard. Cálculo Diferencial e Integral. [S.l.]: Globo. p. 29 
  6. Revista Eureka! nº 14 (página 34), da Sociedade Brasileira de Matemática. < http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka14.pdf >