Proporcionalidade

Associação linear fundamental entre variáveis quantificáveis
(Redirecionado de Proporção)
 Nota: Se procura outras acepções - ou casos específicos como as proporções direta ou com o inverso do quadrado -, veja proporcionalidade (desambiguação).

A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.

Definição

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Em regra, a proporcionalidade é uma relação binária que pode ocorrer numa dupla de funções reais de mesmo domínio. Uma função é proporcional a outra se e somente se existe(m) alguma(s) constante(s) real(is) – denominada(s) constante(s) de proporcionalidade – que igual(em) cada razão entre as valorações. Então, dados um conjunto   e duas funções  , temos que:   é proporcional a   se e só se existe alguma constante real   tal que, para todo   ao longo de  ,   Isso é

 

Isso vale para os números reais; álgebras exóticas não serão abordadas nesse artigo.

Sendo verdadeira a proporcionalidade, existirão exatamente um ou dois valores possíveis para  .

 

E mantêm a propriedade de serem inversas multiplicativas uma da outra.

Propriedades

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Algumas propriedades da proporcionalidade serão enunciadas e provadas abaixo:

Equivalente

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A relação de proporcionalidade é reflexiva, comutativa (ou "simétrica") e transitiva, portanto, é uma relação de equivalência.

Reflexiva

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Toda função é proporcional a si mesma.

 

Provada a partir da definição:

 

Este é o único caso em que existe uma só constante real de proporcionalidade.

Comutativa (ou "Simétrica")

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Não existe uma ordem exata dos objetos, pois seja qual for a sua colocação a proporcionalidade não se altera.

 

Isso porque compartilham do mesmo conjunto de constantes de proporcionalidade:

 

Transitiva

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A proporcionalidade é transitiva:

 

Portando a expressão acima pode ser simplificada em:

 

Prova-se a partir da definição:

 

O produto entre constantes é constante.

Mecanismos de resolução

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Eis alguns processos de cálculo que conservam uma proporcionalidade verdadeira:

  1. Multiplicação de ambos os termos
  2. Inversão de ambos os termos
  3. Eliminação de constantes

Algoritmos

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  1. "Regra de três" ou "Multiplicação cruzada"
  2. "Regra de três composta"

Deduzindo proporcionalidades a partir de igualdades

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Considere, por exemplo, a equação de Clapeyron:

 

Formas de proporcionalidade

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Retórica Simbologia Exemplo
"variação proporcional"   Retas paralelas
"directamente proporcional"   Semelhança de triângulos
"inversamente proporcional"   Lei de Boyle-Mariotte (pressão e volume)
"proporcional ao quadrado"   Esfera (raio e volume)
"inversamente proporcional ao quadrado"   Gravitação Universal e Lei de Coulomb (força e distância)
"proporcional ao cubo"   Semelhança de pirâmides
"inversamente proporcional ao cubo"   Força dipolo permanente (força e distância)
"quadrado proporcional ao cubo"   Terceira lei de Kepler (período e semieixo maior)
"em divina proporção"   As alturas do Homem vitruviano até o umbigo e até a cabeça.

Proporcionalidade inversa

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Se duas funções são inversamente proporcionais, então uma é proporcional ao inverso multiplicativo da outra.

 

Isso ocorre por que podemos inverter ambos os termos da expressão de proporcionalidade. Ambas as formas estabelecem que:

 

Divina proporção

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Quando o número de ouro   é uma constante duma relação verdadeira de uma proporcionalidade entre funções positivas diz-se que estão em divina proporção.

Isso ocorre se e somente se:

 

Aplicações

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Além de um enorme número de aplicações cotidianas, a proporcionalidade, associada à análise dimensional é muito útil ao empirismo científico.

A proporcionalidade também é de interesse das artes e do estudo da estética.

Linearização

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Embora a mais simples relação entre grandezas, é sabido contudo que grande parte das relações encontradas entre grandezas físicas naturais não se fazem mediante proporção direta. Há contudo ferramentas matemáticas específicas, a exemplo a troca de variáveis e as linearizações, que permitem reduzir uma relação inicialmente mais complicada a uma relação de proporção direta, quando não ao longo de todo o domínio de validade da relação, ao menos localmente. A expansão em séries de Taylor desempenha importante papel em áreas científicas exatas tanto em teorias como na prática. Indica-se a leitura de artigos específicos para mais informações sobre o assunto.

Ver também

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Bibliografia

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