Quase em todo o lado

Quase em todo o lado ou quase por todo o lado (abreviatura: q.t.l.) é um termo da teoria da medida aplicável a propriedades que só não são válidas em conjuntos de medida nula (o que define uma relação de equivalência em medida).

Eis alguns teoremas que envolvem o termo "quase em todo o lado":

• Se f : R → R é uma função integrável à Lebesgue e f(x) ≥ 0 q.t.l., então

$\int f(x)\,dx\geq 0.$

• Se f : [a, b] → R é uma função monótona, então f é diferenciável q.t.p.
• Se f : R → R é mensurável à Lebesgue e

$\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty$

para todos os reais a < b, existe um conjunto de medida nula E (dependente de f) tal que, se x não pertence a E, a média de Lebesgue

${\frac {1}{2\epsilon }}\int _{x-\epsilon }^{x+\epsilon }f(t)\,dt$

converge para f(x) ao $\epsilon$ decrescer para zero. Ou seja, a média de Lebesgue de f converge para f q.t.p.. O conjunto E é o chamado conjunto de Lebesgue de f, e tem medida zero.

Referências gerais

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure 3rd edition ed. New York: John Wiley & sons. ISBN 0-471-00710-2. 
• Halmos, Paul R. (1974). Measure Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8