Coeficiente de correlação de Pearson

Em estatística descritiva, o coeficiente de correlação de Pearson, também chamado de "coeficiente de correlação produto-momento" ou simplesmente de "ρ de Pearson" mede o grau da correlação (e a direcção dessa correlação - se positiva ou negativa) entre duas variáveis de escala métrica (intervalar ou de rácio/razão).

Este coeficiente, normalmente representado por ρ assume apenas valores entre -1 e 1.

• $\rho =1$ Significa uma correlação perfeita positiva entre as duas variáveis.
• $\rho =-1$ Significa uma correlação negativa perfeita entre as duas variáveis - Isto é, se uma aumenta, a outra sempre diminui.
• $\rho =0$ Significa que as duas variáveis não dependem linearmente uma da outra. No entanto, pode existir uma dependência não linear. Assim, o resultado $\rho =0$ deve ser investigado por outros meios.

Cálculo

Calcula-se o coeficiente de correlação de Pearson segundo a seguinte fórmula:

$\rho ={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}={\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sqrt {\operatorname {var} (X)\cdot \operatorname {var} (Y)}}}$

onde $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ e $y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}$ são os valores medidos de ambas as variáveis. Para além disso

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}$

e

${\bar {y}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}y_{i}$ são as médias aritméticas de ambas as variáveis. Conforme consta em http://leg.ufpr.br/~silvia/CE701/node79.html

A análise correlacional indica a relação entre 2 variáveis lineares e os valores sempre serão entre +1 e -1. O sinal indica a direção, se a correlação é positiva ou negativa, e o tamanho da variavel indica a força da correlação.

Cabe observar que, como o coeficiente é concebido a partir do ajuste linear, então a fórmula não contém informações do ajuste, ou seja, é composta apenas dos dados.

Interpretando $\rho$

• 0.9 para mais ou para menos indica uma correlação muito forte.
• 0.7 a 0.9 positivo ou negativo indica uma correlação forte.
• 0.5 a 0.7 positivo ou negativo indica uma correlação moderada.
• 0.3 a 0.5 positivo ou negativo indica uma correlação fraca.
• 0 a 0.3 positivo ou negativo indica uma correlação desprezível.

Interpretação geométrica

As duas séries de valores $X(x_{1},\ldots ,x_{n})$ e $Y(y_{1},\ldots ,y_{n})$ podem ser consideradas como vetores em um espaço de n dimensões. $X(x_{1}-{\bar {x}},\ldots ,x_{n}-{\bar {x}})$ e $Y(y_{1}-{\bar {y}},\ldots ,y_{n}-{\bar {y}})$.

O cosseno do ângulo α entre estes vetores é dado pela fórmula (produto escalar normado):

$\cos(\alpha )={\dfrac {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}$

Portanto $\cos(\alpha )=\rho$

O coeficiente de correlação não é outro senão o cosseno do ângulo α entre os dois vetores!

Se $\rho$ = 1, o ângulo α = 0, os dois vetores são colineares (paralelos).

Se $\rho$ = 0, o ângulo α = 90°, os dois vetores são ortogonais.

Se $\rho$ = -1, o ângulo α = 180°, os dois vetores são colineares com sentidos opostos.

Mais geralmente : $\alpha =\arccos(\rho )$, ($\arccos$ é a inversa da função cosseno).

Ver também

• Correlação
• Coeficiente de correlação de postos de Spearman