Raio de curvatura

Na geometria diferencial, o raio de curvatura, R, é o recíproco da curvatura . Para uma curva, é igual ao raio do arco circular que melhor se aproxima da curva naquele ponto. Para superfícies, o raio de curvatura é o raio de um círculo que melhor se ajusta a uma seção normal ou a suas combinações . [1] [2] [3]

Raio de curvatura e centro de curvatura

DefiniçãoEditar

O raio de curvatura é uma magnitude que mede a curvatura de um objeto geométrico tal como uma linha curva, uma superfície ou mais genericamente uma variedade diferenciável imersa em um espaço euclidiano.

O raio de curvatura é matematicamente descrito por

 

onde   é a curvatura de uma determinada função.

Se a curva é dada em coordenadas cartesianas como  , e diferenciável pelo menos duas vezes, então o raio de curvatura é dado por[4]

 

onde   e  
Caso a curva seja definida em equações paramétricas como   e  , então o raio de curvatura é dado por

 

onde   e  , e também   e  
Em notação vetorial, pode-se interpretar a definição acima como

 

onde   é uma função vetorial definida por funções escalares de parâmetro   nas direções dos eixos de um sistema de coordenadas retangulares.

FórmulaEditar

Se γ : ℝ → ℝn é uma curva parametrizada em n então o raio de curvatura em cada ponto da curva, ρ : ℝ → ℝ, é dado por [5]

 
Como um caso especial, se f(t) é uma função de a , então o raio de curvatura de seu gráfico, γ(t) = (t, f(t)), é:
 
Derivação

Seja γ como acima, e corrija t . Queremos encontrar o raio ρ de um círculo parametrizado que corresponda a γ em suas derivadas zero, primeira e segunda em t . Claramente, o raio não dependerá da posição γ(t), apenas da velocidade γ′(t) e da aceleração γ″(t) . Existem apenas três escalares independentes que podem ser obtidos a partir de dois vetores v e w, a saber v · v, v · w e w · w . Assim o raio de curvatura deve ser a função de três escalares |γ′(t)|2, | γ″(t)|2 e γ′(t) · γ″(t).[6]

A equação geral para um círculo parametrizado em is n é

 
onde c ∈ ℝn é o centro do círculo (irrelevante, pois desaparece nas derivadas), a,b ∈ ℝn são vetores perpendiculares de comprimento ρ (ou seja, a · a = b · b = ρ2 e a · b = 0 ) h : ℝ → ℝ é uma função arbitrária que é duas vezes diferencial em t .

Os derivados relevantes de g calculam-se como

 

Se agora igualarmos essas derivadas de g às derivadas correspondentes de γ at t, obtemos

 

Essas três equações em três incógnitas ( ρ, h′(t) e h″(t) ) podem ser resolvidas para ρ, fornecendo a fórmula para o raio de curvatura:

 

ou, omitindo o parâmetro t para facilitar a leitura,

 

ExemplosEditar

 
Uma elipse (vermelha) e sua evolução (azul). Os pontos são os vértices da elipse, nos pontos de maior e menor curvatura.

Semicírculos e círculosEditar

 

Para um semicírculo de raio a no semiplano inferior

 
O círculo de raio a tem um raio de curvatura igual a a.

ElipsesEditar

Em uma elipse com o eixo maior 2a e o eixo menor 2b, os vértices no eixo principal têm o menor raio de curvatura de qualquer ponto, R = b2a ; e os vértices no eixo menor têm o maior raio de curvatura de qualquer ponto, R = a2b .

AplicaçõesEditar

Estresse em estruturas semicondutoresEditar

O estresse na estrutura do semicondutor envolvendo filmes finos evaporados geralmente resulta da expansão térmica (estresse térmico) durante o processo de fabricação. O estresse térmico ocorre porque as deposições dos filmes geralmente são feitas acima da temperatura ambiente.Após o resfriamento da temperatura de deposição para a temperatura ambiente, a diferença nos coeficientes de expansão térmica do substrato e do filme causa estresse térmico.

O estresse intrínseco resulta da microestrutura criada no filme à medida que os átomos são depositados no substrato. O estresse elástico resulta dos micro vazios no filme fino, devido à interação atraente dos átomos através dos vazios.[7]

O estresse nas estruturas de semicondutores de película fina resulta na flambagem das bolachas. O raio da curvatura da estrutura tensionada está relacionado ao tensor de tensão na estrutura e pode ser descrito pela fórmula de Stoney modificada. [8] A topografia da estrutura tensionada, incluindo raios de curvatura, pode ser medida usando métodos de scanner óptico. As modernas ferramentas de scanner têm a capacidade de medir a topografia completa do substrato e medir os dois principais raios de curvatura, fornecendo a precisão da ordem de 0,1% para raios de curvatura de 90 metros ou mais. [9]

Ver tambémEditar

Referências

  1. Weisstien. «Radius of Curvature». Wolfram Mathworld  |nome3= sem |sobrenome3= em Authors list (ajuda)
  2. Kishan, Hari (2007). Differential Calculus. Atlantic Publishers & Dist (em inglês). [S.l.: s.n.] ISBN 9788126908202 
  3. Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus. MacMillan (em inglês) Sixth ed. New York: [s.n.] 
  4. http://mathworld.wolfram.com/RadiusofCurvature.html
  5. Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus. MacMillan (em inglês) Sixth ed. New York: [s.n.] 
  6. Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (em inglês) Sixth ed. New York: MacMillan 
  7. «Controlling Stress in Thin Films». Flipchips.com. Consultado em 22 de abril de 2016 
  8. «On the determination of film stress from substrate bending : Stoney's formula and its limits» (PDF). Qucosa.de 
  9. Peter Walecki. «Model X». Zebraoptical.com 


Leitura AdicionalEditar

  • do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. [S.l.: s.n.] ISBN 0-13-212589-7 

Links ExternosEditar


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