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Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.

Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena

A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.

EnunciadoEditar

A regra da cadeia afirma que

 

que em sua forma sucinta é escrita como:  

Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é

 

Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a integração por substituição.

ExemplosEditar

  • Exemplo 1: Considere   Temos que   onde   e   Então,
     
  • Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo:
     
    pode ser escrita como   com   e   A regra da cadeia afirma que
     
    uma vez que   e  

Regra da cadeia para várias variáveisEditar

A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função   onde   e   então[1]

 

Suponha que cada função de   é uma função de duas variáveis tais que   e   e que todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a:

 

 

Se considerarmos   acima como um vetor função, podemos então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima como o produto escalar do gradiente de   e a derivada de  

 

Em geral, para funções de vetores a vetores, a regra da cadeia afirma que a Matriz Jacobiana da função composta é o produto de matrizes Jacobianas de duas funções:

 
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