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Relação antissimétrica

Disambig grey.svg Nota: Não confundir com Relação assimétrica

Em matemática, uma relação antissimétrica é uma relação binária em um conjunto quando não há um par de elementos distintos de , cada um deles relacionado por ao outro. Mais formalmente, é antissimétrica precisamente se para todos e em

se com , então não deve existir

ou equivalente,

se e , então .

em fórmula lógica, temos:

(A definição de antissimetria não diz nada sobre se realmente é válido ou não para qualquer ).

A relação de divisibilidade nos números naturais é um exemplo importante de uma relação antissimétrica. Neste contexto, antissimetria significa que a única forma de cada um dos dois números poder ser divisível pelo outro é se os dois são, de fato, o mesmo número; equivalentemente, se e são distintos e é um fator de , então não pode ser um fator de . Por exemplo, 12 é divisível por 4, mas 4 não é divisível por 12.

A relação usual de ordem nos números reais é antissimétrica: se para dois números reais e ambas as desigualdades e , então e devem ser iguais. Similarmente, a ordem de subconjunto nos subconjuntos de qualquer conjunto dado é antissimétrica: dado dois conjuntos e , se todo elemento em também estiver em e todo elemento em também estiver em , então e devem conter os mesmos elementos e, portanto, ser iguais:

Ordens parciais e totais são antissimétricas por definição. Uma relação pode ser simétrica e antissimétrica (por exemplo, a relação de igualdade), e existem relações que não são nem simétricas nem antissimétricas (por exemplo, a relação "preda sobre" em espécies biológicas).

A antissimetria é diferente da assimetria, o que requer tanto antissimetria quanto irreflexividade. Assim, toda relação assimétrica é antissimétrica, mas o inverso é falso.

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar