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Função identidade

(Redirecionado de Relação de identidade)
Disambig grey.svg Nota: Para outros significados, veja Função nula (ciência da computação).
Gráfico da função de identidade nos números reais.

Na matemática, uma função identidade (ou função de identidade), também chamada de relação de identidade ou mapa de identidade ou transformação de identidade, é uma função que sempre retorna o mesmo valor usado como argumento. Nas equações, a função é dada por . Trata-se de uma função bijetiva [1].

DefiniçãoEditar

Formalmente, se   é um conjunto, a função de identidade   em   é definida para ser a função com domínio e contradomínio   definida por:

 

ou seja,   para todos os elementos   em  .[2]

Em outras palavras, o valor da função   em   (isto é, o contradomínio) é sempre o mesmo elemento de entrada   de   (agora considerado como o domínio). A função de identidade em   é claramente uma função injetiva, bem como uma função sobrejetiva, por isso também é bijetiva.[3]

A função de identidade   em   é frequentemente denotada por  .

Na teoria dos conjuntos, onde uma função é definida como um tipo particular de relação binária, a função identidade é dada pela relação de identidade, ou diagonal de  .

O gráfico da função identidade é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrante (x=y), ou seja, a reta passa pela origem (0,0). Por essa mesma razão ele se parece com a função linear.

Propriedade algébricaEditar

Se  é uma função qualquer, então nós temos  (onde " " denota composição de função). Em particular  é o elemento de identidade do monoide de todas as funções de   até  .

Como o elemento de identidade de um monoide é único, pode-se definir alternadamente a função de identidade   ser esse elemento de identidade. Tal definição generaliza para o conceito de um morfismo de identidade na teoria de categorias, onde os endomorfismos de   não deve ser funções.

PropriedadesEditar

Ver tambémEditar

Por abuso de linguagem, por vezes também se chama identidade à função inclusão.

Referências

  1. Grupo de Matemática da Universidade Técnica de Lisboa. Funções. Página 10. Disponível em: <http://preprint.math.ist.utl.pt/files/ppgmutlfuncoes.pdf>. Acesso em: 07 jan 2011.
  2. Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra, ISBN 978-0-8176-3248-9, Springer 
  3. Mapa, Sadhan Kumar. Higher Algebra Abstract and Linear 11th ed. [S.l.]: Sarat Book House. p. 36. ISBN 978-93-80663-24-1 
  4. Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) 9th ed. , Wiley International 
  5. D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (2007). Number Theory through Inquiry. Col: Mathematical Association of America Textbooks. [S.l.]: Mathematical Assn of Amer. ISBN 978-0883857519 
  6. T. S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Col: Undergraduate Texts in Mathematics. [S.l.]: Springer. ISBN 038-733-195-6 
  7. James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, Predefinição:Isbn