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Relação reflexiva

relação binária sobre um conjunto, tal que todo elemento está relacionado a si mesmo

Na matemática, uma relação reflexiva é uma relação binária sobre um conjunto em que cada elemento de está relacionado a si mesmo.[1][2] Formalmente, isso pode ser escrito .

Um exemplo de uma relação reflexiva é a relação "é igual a" no conjunto de números reais, já que todo número real é igual a ele mesmo. Diz-se que uma relação reflexiva tem a propriedade reflexiva ou é possuidora de reflexividade. Juntamente com a simetria e a transitividade, a reflexividade é uma das três propriedades que definem as relações de equivalência.

Termos relacionadosEditar

Uma relação binária é chamada de irreflexiva, ou antirreflexiva, se não relacionar qualquer elemento a si mesma. Um exemplo é a relação "maior que" ( ) nos números reais. Nem toda relação que não é reflexiva é irreflexiva; é possível definir relações em que alguns elementos estão relacionados a si mesmos, mas outros não (ou seja, nem todos nem nenhum). Por exemplo, a relação binária "o produto de   e   é par" é reflexiva no conjunto de números pares, irreflexiva no conjunto de números ímpares e não reflexiva nem irreflexiva no conjunto de números naturais.

Uma relação   em um conjunto   é chamada quase reflexiva se todo elemento relacionado a algum elemento também estiver relacionado a si mesmo, formalmente:  . Um exemplo é a relação "tem o mesmo limite que" no conjunto de sequências de números reais: nem toda sequência tem um limite e, portanto, a relação não é reflexiva, mas se uma sequência tem o mesmo limite de alguma sequência, então tem o mesmo limite que ela. Faz sentido distinguir a quase reflexividade esquerda e direita, definida por  [3] e  , respectivamente. Por exemplo, uma relação euclidiana esquerda é sempre esquerda, mas não necessariamente direita, quase reflexiva.

Uma relação   em um conjunto   é chamada de super-reflexiva se para todos   e   em   implica que se   então  .[4] Um exemplo de uma relação super-reflexiva é a relação em números inteiros em que cada número ímpar está relacionado a si mesmo e não há outras relações. A relação de igualdade é o único exemplo de uma relação tanto reflexiva como super-reflexiva, e qualquer relação super-reflexiva é um subconjunto da relação de identidade. A união de uma relação super-reflexiva e transitiva é sempre transitiva.

Uma relação reflexiva em um conjunto não-vazio   não pode ser irreflexiva, nem assimétrica, nem intransitiva.

O fecho reflexivo   de uma relação binária   em um conjunto   é a menor relação reflexiva em   que é um superconjunto de  . Equivalentemente, é a união de   e a relação de identidade em  , formalmente:  . Por exemplo, o fechamento reflexivo de   é  .

A redução reflexiva, ou núcleo irreflexivo, de uma relação binária   em um conjunto   é a menor relação   tal que   compartilha o mesmo fechamento reflexivo que  . Pode ser visto de uma maneira como o oposto do fecho reflexivo. É equivalente ao complemento da relação de identidade em   em relação a  , formalmente:  . Isto é, é equivalente a   exceto onde   é verdadeiro. Por exemplo, a redução reflexiva de   é  .

ExemplosEditar

Exemplos de relações reflexivas incluem:

Exemplos de relações irreflexivas incluem:

  • "não é igual a"
  • coprimo a" (para os inteiros >1, já que 1 é coprimo a si mesmo)
  • "é um subconjunto próprio de"
  • "é maior que"
  • "é menor do que"

Número de relações reflexivasEditar

O número de relações reflexivas em um conjunto de  -elementos é  .[5]

Lógica filosóficaEditar

Autores em lógica filosófica frequentemente usam terminologia diferente. As relações reflexivas no sentido matemático são chamadas totalmente reflexivas na lógica filosófica, e as relações quase reflexivas são chamadas reflexivas.[6][7]

NotasEditar

  1. Levy 1979:74
  2. Relational Mathematics, 2010
  3. The Encyclopædia Britannica calls this property quasi-reflexivity.
  4. Fonseca de Oliveira, J. N., & Pereira Cunha Rodrigues, C. D. J. (2004). Transposing Relations: From Maybe Functions to Hash Tables. In Mathematics of Program Construction (p. 337).
  5. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences A053763
  6. Alan Hausman; Howard Kahane; Paul Tidman (2013). Logic and Philosophy — A Modern Introduction. [S.l.]: Wadsworth. ISBN 1-133-05000-X  Here: p.327-328
  7. D.S. Clarke; Richard Behling (1998). Deductive Logic — An Introduction to Evaluation Techniques and Logical Theory. [S.l.]: University Press of America. ISBN 0-7618-0922-8  Here: p.187

ReferênciasEditar

Ligações externasEditar