Representação de Heisenberg

Na física a Representação de Heisenberg, desenvolvida pelo físico Werner Heisenberg, é a formulação da mecânica quântica onde os operadores (observáveis) são dependentes do tempo e o estado quântico são independentes do tempo. Isto demonstra o contraste com a Representação de Schrödinger na qual os operadores são constantes e o estado quântico se desenvolve no tempo. Estas duas representações apenas se diferem pela mudança na dependência do tempo. Formalmente falando a Representação de Heisenberg é a formulação da mecânica matricial numa base arbitrária, onde o Hamiltoniano não é necessariamente diagonal.

Mecânica quântica
Princípio da Incerteza
Introdução à mecânica quântica

Formulação matemática

Representações
Representação de Schrödinger
Representação de Heisenberg
Representação de Dirac
Mecânica matricial
Integração funcional

Detalhes matemáticosEditar

Na Representação de Heisenberg da mecânica quântica o estado quântico,  , não se modifica com o tempo, e um observador A satisfaz a equação

 

onde H é o hamiltoniano e [·,·] é o comutador de A e H. Em certo sentido, a Representação de Heisenberg é mais natural e fundamental que a Representação de Schrödinger, especialmente para a teoria da relatividade geral e restrita.

A similaridade da Representação de Heisenberg com a física clássica é facilmente identificada ao trocar o comutador da equação acima pelos Parênteses de Poisson, então a equação de Heisenberg se tornará uma equação da mecânica hamiltoniana.

Derivando a equação de HeisenbergEditar

Suponha que nós tenhamos um observador A (que é um operador autoadjunto). O valor esperado de A para um dado estado   é dado por:

 

ou se nós escrevermos a seguinte Equação de Schrödinger

 

(onde H é o hamiltoniano independente do tempo e ħ é a Constante de Planck dividida por π) nós teremos

 

e então nós definiremos

 

Agora obteremos

 

(diferenciando de acordo com a regra do produto)

 

(a última passagem é válida já que   comuta com H.) Nós agora estamos à esquerda da Equação de Heisenberg do movimento

 

(onde [XY] é o comutador dos dois operadores e definidos como [XY] := XY − YX).

Agora, se nós fizermos uso do operador de igualdade

 

Nós veremos que para um observador independente do tempo A, nós obteremos:

 

Devido ao relacionamento entre os Parênteses de Poisson e os comutadores, esta relação também obedece à mecânica clássica.

Relacionamento do comutadorEditar

O relacionamento do comutador é bastante diferente à Representação de Schrödinger por causa da dependência do tempo dos operadores. Por exemplo, considere os operadores   e  . A evolução no tempo destes operadores depende do hamiltoniano deste sistema. Para um oscilador harmônico de uma dimensão

 

A evolução da posição e do operador do momento é dada por:

 
 

Pela diferenciação de ambas equações e solucionando com as devidas condições iniciais

 
 

nos leva a:

 
 

Agora nós estamos prontos para diretamente comutar a relação do comutador:

 
 
 

Perceba que para  , simplesmente obteremos a já conhecida relação de comutação canônica.

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar