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Reticulado

conjunto parcialmente ordenado de pares de elementos
Disambig grey.svg Nota: Se procura por outros sentidos do termo, veja Retículo (grupo).
Reticulado das partições de um conjunto com 4 elementos.

Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em álgebra, um reticulado é uma estrutura L = (L, R) tal que L é parcialmente ordenado por R e para cada dois elementos a, b de L existe supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior) de {a,b}.

Índice

Reticulados como estruturas algébricasEditar

De maneira equivalente, um reticulado pode ser definido como uma estrutura algébrica. Uma estrutura algébrica (L,  ), consistindo de um conjunto L e duas operações  , and  , sobre L é um reticulado se para todos os elementos a, b, c de L valem as seguintes equações, que podem ser vistas como axiomas da teoria dos reticulados.

Leis Comutativas
 ,
 .
    
Leis Associativas
 ,
 .
    
Lei de Absorção
 ,
 .

As identidades seguintes as vezes também são vistas como axiomas, apesar de poder ser facilmente deduzidas usando as duas leis de absorção.[1]

Leis de Idempotência
 ,
 .

ExemplosEditar

  • Seja   um conjunto não vazio e   o conjunto potência ou conjunto das partes de  . Além disso, seja   a relação de inclusão de conjuntos. Então   é um reticulado no qual o supremo está representado pela união de conjuntos e o ínfimo pela interseção.
  • Seja   um conjunto totalmente ordenado, isto é,   é uma relação de ordem total. O supremo de dois elementos é o maior deles e o ínfimo é o menor.

SemirreticuladosEditar

  • Um semirreticulado superior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe supremo para quaisquer dois elementos a,b.
  • Um semirreticulado inferior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe ínfimo para quaisquer dois elementos a,b.

Referências

  1.  , and dually for the other idempotent law. Dedekind, Richard (1897), «Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler», Braunschweiger Festschrift: 1–40 .

BibliografiaEditar

  • BIRKHOFF, Garrett (1948). Lattice Theory (em inglês). New York: American Mathematical Society 
  • DAVEY, B.A.; PRIESTLEY, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (em inglês) 2nd. ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1 
  • ROMAN, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (em inglês). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2 
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