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Representação esquemática de um tubo de água ilustrando a noção de rotacional

Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. Assim, o rotacional corresponde a uma transformação linear de um campo de vetores em um outro campo vetorial, ou seja, a cada ponto do espaço aonde definimos o rotacional ele será dado por um vetor. Seu significado é empregado em diversos ramos da ciência, como eletromagnetismo e mecânica dos fluidos.

Campos vetoriais nos quais o rotacional é diferente de zero, são ditos campos de vórtice (vortex, em latim). Portanto, o campo de velocidades de um corpo em rotação é um campo de vórtice e o rotacional de um campo pode ser interpretado como uma "medida" da capacidade de giro deste campo.

Se o campo vetorial representa o campo de velocidades de um fluido, então o rotacional representará a circulação de um volume infinitesimal deste fluido por uma superfície. Neste caso, o módulo deste rotacional neste ponto dará o quanto a velocidade deste fluido gira e a direção deste rotacional será a da normal à superfície do giro, obedecendo-se a regra da mão direita.

Um campo vetorial cujo rotacional é zero é chamado de irrotacional. Os campos vetoriais conservativos, como aqueles dados pela Lei da Gravitação Universal e pela Lei de Coulomb, são campos irrotacionais; em outras palavras, nada girará sob a ação exclusiva destes campos.

Coordenadas cartesianasEditar

Dado um campo vetorial  , seu rotacional será :

 

Outra forma de apresentar o vetor rotacional é através de um produto vetorial, calculável através da seguinte mnemônica:

 

Essas duas formas de apresentar o Rotacional de uma função valem apenas para funções vetoriais escritas em coordenadas retangulares.

Coordenadas cilíndricasEditar

 

Coordenadas esféricasEditar

 

Representação do RotacionalEditar

 
Representação do Campo Vetorial F(x,y)= -yi +xj

Como já dito, o rotacional pode ter sua representação física relacionada à capacidade de giro que uma parte infinitesimal de um campo vetorial apresenta. Apesar disso, sua visualização pode ser muito difícil, então, para auxiliar, deve-se imaginar um campo vetorial qualquer, tomando como exemplo a função F(x,y)= -yi +xj . Dado o campo vetorial, pode-se imaginar ele como sendo a representação de um recipiente com água que está escoando para seu centro, como se tivesse um ralo de saída. Apesar da imagem ser ilustrativa, as flechas indicam o sentido e a intensidade do movimento da água.

 
Disco colocado em um campo vetorial

Então é colocado um disco dentro da água, e este disco tem um "Norte", que consiste no seu sentido de orientação. Ao ser colocado dentro do campo vetorial, o disco começa a se movimentar de forma circular, acompanhando o deslocamento da água, mas sem mudar seu sentido e direção de orientação original, isto é, mantendo seu "Norte" apontado para a mesma direção. Este campo é dado como irrotacional, em função do disco não mudar a posição em relação a seu próprio eixo.

Agora imagine que outro disco é colocado dentro da água, só que desta vez, o centro do disco começa a se movimentar e girar no seu próprio eixo, isto é, ao longo do seu movimento, seu "Norte" muda de sentido e direção. Esta capacidade do disco de girar ao longo do movimento pode ser interpretada como o rotacional do campo vetorial (STRAUCH, 2008).

O rotacional pode ser obtido através da regra da mão direita, em que se posicionam os 4 dedos acompanhando o movimento de giro do disco, e por consequência, o polegar acaba apontando na direção do rotacional. No caso do disco, utilizando a regra, conclui-se que o rotacional está apontando para o eixo k positivo, isto é, para fora da tela.

 
Representação física do Rotacional

Para o campo F(x,y) dado, tem-se o rotacional:

 

Calculando-se então o determinante, chega-se à expressão:

 

Calculando as derivadas, tem-se então:

 

Por fim, o rotacional deste campo resulta no vetor  , o que confirma a regra da mão direita utilizada para verificar a direção do vetor, resultando no sentido positivo.

IdentidadesEditar

Sejam as funções vetoriais diferenciáveis  =   e  =  , e as funções escalares diferenciáveis   e  , pode-se obter algumas identidades matemáticas do Rotacional:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Na identidade 1 pode-se constatar que o rotacional da soma é a soma dos rotacionais. Pode-se também constatar que o divergente de um rotacional é zero (escalar), na identidade 4. Uma identidade muito útil e importante no estudo de campos rotacionais é a identidade 3, em que está sendo afirmado basicamente que o rotacional de um campo gradiente, ou campo conservativo, resulta no vetor nulo, isto é, não apresenta possibilidade de giro. Esta identidade é de extrema importância, pois demonstra que todos os campos conservativos são irrotacionais (Strauch, 2008).

ReferênciasEditar

  • STRAUCH, Irene (2008), Análise Vetorial em dez aulas, Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática - UFRGS.
  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Ver tambémEditar

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