Série convergente

série infinita que produz uma soma finita

Em matemática, uma série é o somatório dos termos de uma sequência de números.

Dada uma sequência infinita , a -ésima soma parcial é a soma dos primeiros termos da sequência, isto é,

Uma série é convergente se a sequência de suas somas parciais tende a um limite. Isto quer dizer que as somas parciais se tornam cada vez mais próximas de um dado número quando o número de seus termos aumenta. Em uma linguagem mais formal, uma série converge se existe um limite tal que para qualquer número positivo arbitrariamente pequeno , existe um inteiro tal que para todo ,

Qualquer série que não é convergente é chamada de divergente.[1]

Exemplos de séries convergentes e divergentesEditar

  • Os inversos dos inteiros positivos produzem uma série divergente (série harmônica):
 
  • Alternar os sinais dos inversos dos inteiros positivos produz uma série convergente:

     

  • Alternar os sinais dos inversos dos inteiros ímpares produz uma série convergente (a Fórmula de Leibniz para  ):

     

  • Os inversos dos números primos produzem uma série divergente (assim sendo, o conjunto dos primos é "grande"):
 
  • Os inversos dos números triangulares produzem uma série convergente:

     

  • Os inversos dos fatoriais produzem uma série convergente (ver número de Euler  ):

     

  • Os inversos dos números quadrados produzem uma série convergente (o Problema de Basileia):

     

  • Os inversos das potências de 2 produzem uma série convergente (assim sendo, o conjunto das potências de 2 é "pequeno"):

     

  • Os inversos das potências de qualquer   produzem uma série convergente:

     

  • Alternar os sinais dos inversos das potências de 2 também produz uma série convergente:

     

  • Alternar os sinais dos inversos das potências de qualquer   produz uma série convergente:

     

  • Os inversos dos números de Fibonacci produzem uma série convergente, sendo   a constante dos inversos de Fibonacci:

     [2]

Testes de convergênciaEditar

 
Se for possível provar que a série azul   converge, então a série menor   deve convergir. Por contraposição, se for possível provar que a série vermelha   diverge, então   também deve divergir.

Existem alguns métodos para determinar se uma série converge ou diverge.

  • Teste da comparação: Os termos da sequência   são comparados àqueles de outra sequência  . Se,

para todo  ,   e   converge, então o mesmo acontece com   Contudo, se, para todo  ,   e   diverge, então o mesmo acontece com  

  • Teste da razão: Assuma que para todo  ,  . Suponha que existe   tal que:

     

Se  , então a série converge. Se  , então a série diverge. Se  , o teste da razão é inconclusivo e a série pode convergir ou divergir.


  • Teste da raiz ou teste da raiz  -ésima: Suponha que os termos da sequência em questão são números não negativos. Defina   como se segue:

     

em que   denota o limite superior (possivelmente  ; se o limite existir, é o mesmo valor).

Se  , então a série converge. Se  , então a série diverge. Se  , o teste da raiz é inconclusivo e a série pode convergir ou divergir.

O teste da razão e o teste da raiz são ambos baseados na comparação com uma série geométrica e, como tal, funcionam em situações similares. De fato, se o teste da razão funcionar (significando que o limite existe e não é igual a 1), então o mesmo acontece com o teste da raiz. O inverso, porém, não é verdadeiro. Por isso, o teste da raiz é de aplicação mais geral, mas, em termos práticos, é frequentemente difícil computar o limite para tipos de séries comumente encontrados.

  • Teste da P-Séries : Uma importante classe de séries numéricas é quando são constituída da série da seguinte forma  
    este tipo de série é conhecido com p-séries e que são bastante utilizado com série de prova nos critérios de comparação. Observe que o termo geral   tem limite 1, quando  , e limite é infinito quando   e em ambos os casos a série é divergente. Se   temos então a série harmônica, que neste caso também é divergente. Nos demais casos a convergência das p-séries será analisado pelo critério de Integral. Quando a função   e   e   é maior ou igual a 1, temos então duas condições:

  Se  ,

 

  Se  ,

 

A integral imprópria quando   é convergente, consequentemente é o único caso que p-série   é também converge.

Exemplos :

Convergentes   e  

Divergentes   e  

  • Teste da integral: A série pode ser comparada com uma integral para estabelecer convergência ou divergência. Considere   uma função positiva e monotonicamente decrescente. Se

     

então a série converge. No entanto, se a integral diverge, o mesmo acontece com a série.

  • Teste da comparação do limite: Se  , o limite   existir e for diferente de zero, então   converge se e somente se   convergir.
  • Teste da série alternada: Também conhecido como critério de Leibniz, o teste da série alternada estabelece que para uma série alternada da forma  , se   for monotonicamente decrescente e tiver um limite zero no infinito, então a série converge.
  • Teste da condensação de Cauchy: Se   for uma sequência monotonicamente decrescente positiva, então   converge se e somente se   convergir.

Outros exemplos incluem o teste de Dirichlet, o teste de Abel e o teste de Raabe.[3]

Convergência condicional e absolutaEditar

 
Ilustração da convergência condicional da série de potência de   em torno de 0 avaliado em  . O comprimento da linha é infinito.

Para qualquer sequência  ,   para todo  . Por isso,

 

Isto significa que, se   convergir, então   também converge (mas não vice-versa).

Se a série   convergir, então, a série   é absolutamente convergente. Um sequência absolutamente convergente é uma sequência na qual a linha criada ao juntar todos os incrementos à soma parcial é finitamente longa. A série das potências da função exponencial é absolutamente convergente em todo lugar.

Se a série   convergir, mas a série   divergir, então a série   é condicionalmente convergente. O caminho formado ao conectar as somas parciais de uma série condicionalmente convergente é infinitamente longo. A série das potências do logaritmo é condicionalmente convergente.

O teorema das séries de Riemann afirma que, se uma série convergir condicionalmente, é possível rearranjar os termos da série de tal maneira que a série converge a qualquer valor ou até mesmo diverge.[4]

Convergência uniformeEditar

 Ver artigo principal: Convergência uniforme

Considere   uma sequência de funções. Diz-se que a série   converge uniformemente a   se a sequência   de somas parciais definida por:

 

convergir uniformemente a  .

Há um análogo do teste de comparação para séries infinitas de funções chamado teste M de Weierstrass.[5]

Critério de convergência de CauchyEditar

O critério de convergência de Cauchy afirma que uma série   converge se e apenas se a sequência de somas parciais for uma sequência de Cauchy.

Isto significa que, para todo  , há um número inteiro positivo   tal que, para  , temos:

 

que é equivalente a:

 [6]

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar

  1. «Series - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org (em inglês). Consultado em 5 de fevereiro de 2018 
  2. W., Weisstein, Eric. «Convergent Series». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 5 de fevereiro de 2018 
  3. Michael., Spivak, (1980). Calculus 2d ed. Berkeley, CA: Publish or Perish. ISBN 0914098896. OCLC 6918648 
  4. W., Weisstein, Eric. «Riemann Series Theorem». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 5 de fevereiro de 2018 
  5. 1921-2010,, Rudin, Walter,. Principles of mathematical analysis Third ed. New York: [s.n.] ISBN 9780070856134. OCLC 1502474 
  6. 1927-2005., Lang, Serge, (1993). Algebra 3rd ed. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 9780201555400. OCLC 24501992 

[1]

  1. Matos, Marivaldo. Séries e equações diferenciais. [S.l.]: Revista e ampliada