Série de potências

Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro , da seguinte forma:

o número , a sequência e o parâmetro podem ser em geral números complexos. [1]

A convergência da série de potências depende da distância entre e no plano complexo:

Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).

HistóriaEditar

O primeiro que usou séries e potências para resolver problemas foi Isaac Newton, em 1665.[2]

Newton provou o teorema binomial:

 

que era conhecido para valores naturais de r, e o generalizou para valores racionais, positivos ou negativos, de r.[3]

Em seguida, Newton desenvolveu as séries de potências para seno, cosseno, tangente, arco seno, arco cosseno, arco tangente e a função  .[3]

Série de TaylorEditar

Uma função analítica num ponto   é uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem nesse ponto.[1] Nesse caso a função pode ser representada por uma série de potências convergente em  :

 

as derivadas de   calculam-se derivando o termo dentro da série, por exemplo, as duas primeiras derivadas são:

 

Se substituirmos   nas séries para  ,   e   vemos que:

 

em geral,

 

e a série de Taylor de   escreve-se:

 

No caso particular   obtém-se a chamada série de Maclaurin. Onde o raio de convergência da série é igual à distância entre   e o ponto singular de   mais próximo.[1]

Algumas séries de Maclaurin importantesEditar

  • Série geométrica

 

 para x, em valor absoluto, menor que 1.
  • Função exponencial

 

  • Funções trigonométricas

 

Método das sériesEditar

Consideremos a equação diferencial linear, homogênea de segunda ordem

 

em que  ,   e   são polinômios. Muitos problemas de engenharia conduzem a equações dessa forma.[1]

A partir do teorema de existência e unicidade para equações lineares, vemos que os pontos singulares são as raízes do polinômio  . Se o ponto   não for raiz de  , a solução da equação diferencial será uma função analítica em   e, portanto, existirá a série de McClaurin para a solução  :

 

A obtenção da solução é equivalente à obtenção da sequência  . A equação de diferenças que define a sequência   é obtida por substituição da série de McClaurin (e das suas derivadas) na equação diferencial.[1]

Equação de AiryEditar

Um exemplo de uma equação linear muito simples que não pode ser resolvida pelos métodos convencionais das equações diferenciais e que pode ser resolvida pelo método das séries, é a equação de Airy:

 

O polinômio   é neste caso igual a 1, de maneira que a solução será analítica em   e poderá ser escrita como uma série de McClaurin:

 

A segunda derivada é:

 

e substituindo na equação diferencial

 

para agrupar as duas séries numa única série de potências, escrevemos a primeira série numa forma equivalente: podemos incrementar em 3 unidades o índice  , dentro da série, se subtrairmos 3 aos limites do somatório; a série resultante será idêntica à série inicial

 

Na primeira série os dois primeiros termos (  e  ) são nulos e o terceiro termo ( ) pode ser escrito explicitamente; a série resultante começa desde  , podendo ser agrupada à segunda série:

 

no lado esquerdo da equação temos uma série de potências em que o coeficiente de ordem zero é   e os coeficientes de ordem superior a zero são o termo dentro dos parêntesis quadrados, com   Para que a série de potências seja nula em qualquer ponto  , é necessário que todos os coeficientes sejam nulos:

 

 

Temos transformado o problema num problema de equações de diferenças.

A equação de diferenças obtida é uma equação incompleta, de terceira ordem e a sua solução consiste em três sucessões independentes para os coeficientes de ordem múltiplo de 3, múltiplo de 3 mais 1, e múltiplo de 3 mais 2.

Como  , os coeficientes de ordem múltiplo de 3 mais 2 são todos nulos. Para obter as outras duas sequências podemos usar o método estudado no capítulo anterior: para  , definindo   obtemos:

 

em termos de fatoriais e funções gama temos:

 

Usando a substituição:

 

a Equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:

 

A solução pode agora ser obtida facilmente:

 

Para calcular a sequência correspondente a  , procedemos em forma semelhante. Em função de  , a fórmula de recorrência (Equação) é uma equação de primeira ordem:

 

e com a substituição

 

a equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:

 

com solução:

 

Finalmente, substituimos   na série de McClaurin para obter a solução da equação diferencial:

 

onde   e   são duas constantes arbitrárias (condições iniciais para   e   em  ). Em alguns casos as séries obtidas podem ser identificadas como a série de McClaurin de alguma função conhecida.

Neste exemplo as séries não correspondem a nenhuma função conhecida, e constituem duas funções especiais designadas funções de Airy.

Raio de convergênciaEditar

Se a distância for suficientemente aproximada a zero, a série converge (  é o valor da série quando  ); quanto maior for a distância mais lenta será a convergência, até que a partir de uma certa distância a série diverge. O valor máximo da distância para o qual a série converge, é o chamado raio de convergência ( ) e calcula-se a partir de:

 

Referências

  1. a b c d e Villate, Jaime E. (2011). Equações Diferenciais e Equações de Diferenças (PDF). Porto: [s.n.] 120 páginas. Consultado em 13 de julho de 2013 
  2. Buzzle.com, Accomplishments of Isaac Newton [em linha]
  3. a b Lecture 20 Newton's Invention of calculus [em linha]

Ligações externasEditar