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Sequência (matemática)

lista ordenada de elementos em matemática
Disambig grey.svg Nota: Para outros significados, veja Sequência.

Em matemática, o conceito de sucessão (português europeu) ou sequência (português brasileiro) tem significado similar ao uso comum da palavra, mas recebe uma definição precisa. Formalmente falando, uma sequência é uma função cujo domínio é um conjunto contável totalmente ordenado. Define-se o tamanho de uma sequência pelo número de elementos que esta possuí, podendo existir sequências infinitas ou finitas. [1]

Índice

Definição e NotaçãoEditar

Em análise matemática, define-se uma sequência como uma função    definida sobre um subconjunto   dos números naturais que toma elementos no conjunto  .[2]

Usualmente para sequências, denotamos o valor de   em   por   em vez de   Este termo   é dito ser o  -ésimo termo da sequência. A notação   é usada para denotar a sequência  , cujos índices são tomados no conjunto  . Quando o conjunto dos índices   está subentendido, normalmente escrevemos   ou, simplesmente,  . Por extenso, escrevemos  . Observamos, ainda, que as notações   e   também são encontradas, embora estas se confundem com a notação usual para conjuntos.[3][4][5][6][7]

Sequências infinitasEditar

Uma sequência numérica infinita é uma função  , cujo domínio é o conjunto dos número naturais.[5][6][7] Com menos formalidade, uma sequência infinita é uma sequência em que todo termo possui um sucessor. Alguns exemplos são:

  1. a sequência de números pares (2, 4, 6,...);
  2. a sequência de números primos (2, 3, 5, 7,...);
  3. a sequência de aproximações por falta para   (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1416,...);
  4. a sequência (1, 1, 1, 1, 1,...).

Sequências bi-infinitasEditar

No estudo de dinâmica simbólica[8], é usado o conceito de uma sequência bi-infinita: uma sequência que é indexada não por  , mas por  . Assim, usa-se a notação  para se referir a sequência  . Também usa-se a notação mais compacta   com um ponto separando a parte com índices negativos da parte com índices naturais.

Sequência de números reaisEditar

 Ver artigo principal: Sequência de números reais

Em análise matemática, uma sequência de números reais é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Isto é, uma sequência de números reais   é uma função  . O estudo destas sequências traz resultados importantes na análise matemática de funções reais. [5][6] São exemplos de sequências reais:

a)  

b)  

c)  

Sequências definidas de forma recursivaEditar

Dizemos que uma sequência   está recursivamente definida quando são dados o seu primeiro termo   e uma lei explícita que relaciona seu  -ésimo termo,   com um ou mais termos anteriores, i.e. é explicitamente dada uma função  . Sequências definidas recursivamente são, também, chamadas de sequências indutivas ou recorrentes.

Na sequência, apresentamos algumas sequências recorrentes comumente estudas.

Progressão AritméticaEditar

 Ver artigo principal: Progressão aritmética

Em uma progressão aritmética (P.A.), cada termo é igual à soma do termo anterior com uma constante denominada "razão da P.A.". Essa razão é geralmente representada pela letra r. Escrevemos então:   ou  , onde   e   são constantes previamente definidas.

Exemplos
  •  
  •  
  •  

Progressão GeométricaEditar

 Ver artigo principal: Progressão geométrica

Em uma progressão geométrica (P.G.), cada termo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada "razão da P.G.". Ou seja,   é uma progressão geométrica quando  ,  , tendo sido dados o primeiro termo   e a razão  .

Exemplos
  •  
  •  
  •  

Sequência de FibonacciEditar

 Ver artigo principal: Sequência de Fibonacci
 
Espiral baseada na sequência de Fibonacci.

A sequência de Fibonacci   é definida por  ,   e  , para , i.e.:

 

Método para extração da raiz quadradaEditar

 
Exemplo ilustrativo do método da raiz quadrada.

Dado um número positivo qualquer  , desejamos encontrar um número   positivo tal que  . Suponhamos, agora, que nos é conhecida apenas uma aproximação   para  . Notemos que:

 

e, observamos que:

  1.   é um valor entre   e  ;
  2. se a aproximação   aumenta de valor, então o fator   diminui e vice-versa;
  3.   é solução de  , se  .

Destas observações, vemos que uma melhor aproximação para   pode ser obtida tomando a média aritmética entre   e  , i.e.:

 .

Agora,   é uma nova aproximação de   e, repetindo o argumento acima, temos que a média:

 

é uma aproximação para   ainda melhor que  .

Seja, então,   a sequência definida recursivamente por:

 .

Podemos mostrar que   converge para  . Esta sequência tem origem na Mesopotâmia (séc. XVIII a.C.) e é talvez o método mais eficiente para extração da raiz quadrada.[6]

Ver tambémEditar

Referências

  1. Introduction to Real Analysis - Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, página 53
  2. LIMA, Elon Lages. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 2004, 11ª ed., vol. 1, cap. 4, p. 100.
  3. CATTAI, Adriano Pedreira. Análise matemática I. Universidade do Estado da Bahia (UNEB). 2º semestre 2008. Disponível em: <http://files.cattai.webnode.com/200000018-891b68b0de/analiseUM_cattai_uneb.pdf>. Acessado em: 16 de dezembro de 2014. Página 38.
  4. Halmos, Paul R. (2001). Teoria ingênua do conjuntos. Rio de Janeiro: Editora Ciencia Moderna. ISBN 9788573931419 
  5. a b c Lima, Elon Lages (2013). Curso de Análise - Volume 1 14 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 9788524401183 
  6. a b c d Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher. ISBN 8521201680 
  7. a b Ávila, Geraldo Severo de Souza (2006). Análise Matemática para Licenciatura 3 ed. São Paulo: Blucher. p. 73. ISBN 978-85-212-0395-7 
  8. Lind, Douglas; Marcus, Brian (1996). An Introduction To Symbolic Dynamics and Coding. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0521551243 

BibliografiaEditar

  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. Edgard Blucher. ISBN 85-212-0295-4
  • Lima, Elon Lages. Análise real. Rio de Janeiro: IMPA.
  • Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. 2 ed. New York, McGraw-Hill, 1964.
  • Michael Spivak. Calculus. Publish or Perish, 2008. ISBN 978-0-914098-91-1.