Sistema contínuo de segunda ordem

Um Sistema contínuo de segunda ordem é o Sistema dinâmico contínuo generalizado para sistemas mais gerais, de segunda ordem. Possibilitando reduzir qualquer sistema de equações diferenciais ordinárias a um sistema de várias equações, autônomas e de primeira ordem. [1]

Queda livre editar

No problema da queda livre de um objeto, para calcular a altura em função do tempo, é preciso resolver a equação diferencial [1]

 

onde   é obtida a partir da equação que já resolvemos no capítulo anterior

 

Aplicando o método de Euler, teremos que encontrar duas sequências a partir de dois valores iniciais conhecidos:

 

usando as relações de recorrência:

 

onde   é um pequeno intervalo de tempo e a aceleração   calcula-se a partir de uma função conhecida, que depende de  

O método do ponto médio consiste em usar a média entre   e   para calcular  

 

ou, substituindo a expressão para   na segunda equação:

 

Lançamento de projéteis editar

O movimento de um projétil, sob a ação da gravidade é um movimento plano, no plano definido pela gravidade e pela velocidade inicial. A posição, velocidade e a aceleração instantânea são vetores com duas componentes, por exemplo,   e  , que verificam duas equações diferenciais [1]

 

Essas equações são uma generalização vetorial das equações . Assim, o método de Euler também pode ser generalizado facilmente, introduzindo vetores nas equações

 

Essas equações resolvem-se em forma iterativa, começando com um valor conhecido para os vectores posição e velocidade iniciais.

Sistemas de segunda ordem editar

 
As funções   e  , calculadas num dado ponto  , definem a velocidade de fase nesse ponto.

Um sistema autônomo de segunda ordem consiste em duas variáveis   e   que dependem do tempo, e duas equações de evolução, independentes do tempo:

 

O espaço de fase desse sistema é o plano  , formado pelas duas variáveis de estado.

O vector  , construído a partir das duas funções nas equações de evolução acima, é a ``velocidade com que o estado se desloca no espaço de fase. A velocidade de fase em cada ponto do espaço de fase representa-se por um múltiplo positivo do vetor   nesse ponto. Usa-se um fator de escala para evitar complicar o desenho com vectores muito compridos a cruzarem-se.

Retrato de fase editar

O retrato de fase de um sistema autônomo de segunda ordem é uma representação gráfica do campo de direções, no espaço de fase a duas dimensões, mostrando os pontos fixos e algumas soluções que entram ou saem desses pontos. [1]

Resolução analítica das equações de segunda ordem editar

Existem dois tipos de equações de segunda ordem que podem ser resolvidas analiticamente. O primeiro tipo são as equações lineares com coeficientes constantes, com a forma geral [1]


 

onde  ,   e   são constantes, e   tem alguma forma simples.

O segundo tipo de equação é a equação de Euler

 

Equações autônomas de segunda ordem editar

As equações diferenciais autônomas de segunda ordem são as que não dependem explicitamente da variável independente. Podem ser reduzidas a duas equações independentes, de primeira ordem. A forma geral de uma equação autônoma de segunda ordem é:

 

se designarmos de   a função  , a equação passa a ser de primeira ordem

 

mas como há 3 variáveis   nesta equação, ela não pode ser resolvida independentemente mas deverá ser resolvida juntamente com a equação  . Um método mais simples, que não exige a resolução de duas equações em simultâneo, consiste em obter uma equação diferencial ordinária (unicamente duas variáveis), usando a seguinte substituição:

 

substituindo na equação, obtém-se

 

que é uma EDO de primeira ordem, com variável independente   e variável dependente  . Cada solução dessa EDO será uma função   que representa   em função da variável  . Para calcular   resolve-se a seguir

 

que é também uma equação autônoma, mas de primeira ordem.

A dificuldade deste método é que nem sempre é possível escrever as soluções da equação na forma explícita  .

Na analogia mecânica,   é a velocidade e a função   na equação é a força resultante, por unidade de massa.

Sistemas não autônomos e derivadas de ordem superior editar

Se as funções   ou  , nos Sistemas de segunda ordem, dependessem do tempo, o sistema deixaria de ser autônomo.

No entanto o sistema pode ser convertido num sistema autônomo, considerando o tempo como mais uma variável de estado, e introduzindo uma equação diferencial trivial para a derivada de   (a derivada de   em função de   é 1).

Outra forma em que um sistema pode diferir da forma padrão será se aparecerem derivadas de ordem superior.

Nesse caso as derivadas de ordem superior podem ser reduzidas a primeira ordem, introduzindo mais variáveis. Vamos ilustrar esses métodos para obter sistemas autônomos por meio de um exemplo.

Transformando o seguinte sistema num sistema autônomo:

 


Resolução: Se   fosse também variável de estado, o sistema seria autônomo; mas deveria haver uma equação de evolução para essa nova variável de estado. Assim, introduzimos mais uma equação (trivial):

 

Assim, o sistema é equivalente a um sistema autônomo de terceira ordem:

 

O espaço de fase tem três dimensões.

Eliminação de singularidades editar

Os métodos para resolver equações diferenciais estudados nas secções anteriores calculam o valor da solução a partir do valor da derivada num ponto inicial. Se a derivada no ponto inicial for infinita, o método falha. Quando o diagrama do campo de direções de um sistema, no plano  , apresentar pontos onde o declive for vertical, os métodos numéricos falham nesses pontos. O problema pode ser resolvido introduzindo um parâmetro adicional, como é feito no exemplo seguinte. [1]

Encontramos a solução do sistema:

 

Resolução: O estado inicial,  ,  , conduz a uma derivada infinita; assim, não vai ser possível calcular a derivada no ponto inicial (3,0). Não será possível representar o campo de direções nesse ponto, e os métodos numéricos não poderão ser usados para calcular a solução.

Introduzindo um parâmetro adicional,  , admitimos que as duas variáveis,   e   dependem de  . A equação é equivalente ao sistema de equações

 

Referências

  1. a b c d e f [ Introdução aos sistemas dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN972-99396-0-8. Acesso em 09 julho. 2013.

Ver também editar