Sistema dinâmico discreto

Um sistema dinâmico discreto, é um sistema em que o seu estado só muda durante os instantes No intervalo de tempo entre dois desses instantes, o estado permanece constante.

O estado de um sistema discreto em uma dimensão é determinado completamente por uma variável, O valor da variável de estado nos instantes será uma sequência O intervalo de tempo entre diferentes pares de instantes sucessivos e não tem que ser o mesmo.

Equação de EvoluçãoEditar

A equação de evolução permite calcular o estado   num instante   a partir do estado   no instante anterior  

 
onde   é uma função conhecida. A equação anterior é uma equação de diferenças de primeira ordem.

Dado um estado inicial   aplicações sucessivas da função   permitem obter facilmente a sequência de estados   Em alguns casos pode ser possível obter uma expressão geral para   em função de  

Evolução de sistemas discretosEditar

A evolução de um sistema discreto de primeira ordem:

 

É obtida aplicando sucessivamente a função   ao estado inicial

 
 

ou, em forma mais compacta:

 

Análise gráficaEditar

 
Diagrama de degraus para   com  

Uma forma gráfica de representar a evolução do sistema consiste em desenhar um ponto para cada passo na sequência, com abcissa igual ao índice   e ordenada igual a  

Por exemplo, no exemplo ao lado, usando a variável   temos   com valor inicial   Obtemos o gráfico de evolução dos primeiros 20 termos:

Outro tipo de diagrama que será muito útil para analisar os sistemas dinâmicos discretos em uma dimensão é o diagrama de degraus, que consiste em representar as funções   e   e uma série alternada de segmentos verticais e horizontais que unem os pontos         etc.

 
Evolução de   com  

Por exemplo, a figura ao lado mostra o diagrama de degraus para o caso da sequência representada na figura anterior.

Essa função precisa dos mesmos três argumentos que a função anterior; nomeadamente, a função   no lado direito da equação de evolução, o valor inicial   e o número de passos na sequência. Repare a variável na expressão para   deverá ser sempre   se a variável de estado no seu problema for outra, deverá fazer a mudança necessária.

O diagrama de degraus permite-nos saber quando uma sequência diverge ou converge e qual o valor para onde converge.

Pontos fixosEditar

Um ponto fixo do sistema da primeira figura é um ponto   onde o estado do sistema permanece constante. Para isso acontecer será necessário e suficiente que

 
isto é, sucessivas aplicações da função   não modificam o valor inicial. A solução do sistema, com valor inicial   é uma sequência constante:  

Do ponto de vista gráfico, os pontos fixos serão todos os pontos onde a curva   intersecta a reta   no diagrama de degraus.

Pontos periódicosEditar

Se a sequência   for uma solução do sistema dinâmico

 
um elemento qualquer na sequência pode ser obtido diretamente a partir de   por meio da função composta  

 

Uma solução será um ciclo de período 2 se for uma sequência de dois valores alternados:   com  

Os dois pontos     são pontos periódicos com período igual a 2.

Como   é necessário que  

E como   temos também que  

Ainda, como   é preciso que   e como   também é preciso que  

Todas as condições anteriores podem ser resumidas dizendo que dois pontos   e   formam um ciclo de período 2, se ambos forem pontos fixos da função   mas sem ser pontos fixos da função  

Dito de outra forma, quando calcularmos os pontos fixos da função   deverão aparecer todos os pontos fixos da função   mais os pontos periódicos, de período 2, da função  

O ciclo será atrativo ou repulsivo segundo o valor que a derivada de  tiver em cada ponto do ciclo. Para calcular a derivada de   em   usa-se a regra da cadeia

 

assim, a derivada de   é igual nos dois pontos     que fazem parte do ciclo, e é igual ao produto da derivada de   nos dois pontos.

Generalizando, um ponto   faz parte dum ciclo de período   se   mas   para   Os   pontos que formam o ciclo completo são

 

Todos esses pontos são pontos fixos de   mas não podem ser pontos fixos de   com  

Se o valor absoluto do produto da derivada nos   pontos do ciclo:

 

for maior que 1, o ciclo será repulsivo; se o produto for menor que 1, o ciclo será atrativo, e se o produto for igual a 1, o ciclo poderá ser atrativo ou repulsivo, em diferentes regiões.

Resolução numérica de equaçõesEditar

Uma aplicação importante dos sistemas dinâmicos discretos é na resolução de equações com uma variável. O problema consiste em encontrar as raízes de uma função real   isto é, os valores de   que verificam a equação

 

Por exemplo, encontrar os valores de   que resolvem a equação:

 

Esse tipo de equação não pode ser resolvida de forma analítica; deverá ser resolvida por métodos numéricos. Os métodos numéricos consistem em encontrar um sistema dinâmico com sequências convergentes que se aproximem das soluções da equação. Nas secções seguintes estudaremos dois desses métodos.

Método de iteraçãoEditar

Se a equação pode ser escrita na forma

 

As soluções são os pontos fixos do sistema dinâmico:

 

Para encontrar um ponto fixo, escolhemos um valor inicial qualquer e calculamos a evolução do sistema.

Método de NewtonEditar

 
Método de Newton para aproximação a uma raiz.

O método de Newton permite encontrar as raízes da equação. Começamos por admitir que existe uma raiz perto do valor   e melhoramos a nossa aproximação inicial encontrando o ponto   onde a tangente em   corta o eixo dos   (ver figura)

 

Podemos usar a mesma equação para calcular uma outra aproximação   a partir de   Em geral

 

É de salientar que as raízes de uma função contínua   onde   é nula, são os pontos fixos do sistema dinâmico definido pela equação acima (Nas regiões onde   e   sejam ambas nulas, as raízes não estão isoladas, mas existe um intervalo com um número infinito de raízes. Nesta secção não vamos estudar esse tipo de raízes.).

A vantagem deste método, em relação ao método de iteração, pode ser apreciada usando a nossa análise dos pontos fixos dum sistema dinâmico. A função que gera o sistema da equação anterior é

 

A derivada dessa função é

 

nos pontos fixos,   é igual a zero. Assim,   também será nula nos pontos fixos. Por tanto, os pontos fixos da equação serão sempre atrativos. Isso quer dizer que, se o ponto inicial   for escolhido suficientemente perto duma das raízes de   a sequência   aproximar-se-á dela. O problema está em determinar, em cada caso o que é suficientemente perto.

Sistemas discretos no plano complexoEditar

A equação de evolução de um sistema dinâmico de primeira ordem, no plano complexo é:

 
onde   é uma variável complexa, e   uma função no plano complexo.

Igual que no caso real, a evolução do estado do sistema é dada por uma sequência em que o termo de ordem   obtém-se iterando a função   vezes:

 
essa sequência corresponde a um conjunto de pontos no plano complexo.

Sistemas quadráticosEditar

Os sistemas quadráticos complexos são a família de sistemas gerados pelas funções:

 

onde   é um parâmetro complexo.

Se   e o valor inicial de   forem reais, obtêm-se os sistemas quadráticos reais que já analisamos com bastante pormenor na seção acima. O seguinte é um sumário dos resultados obtidos nessa secção:

  • Se   o sistema converge para um ponto fixo atrativo.
  • Se   o sistema converge para alguns ciclos atrativos.
  • Se   o sistema é caótico, para valores iniciais no intervalo entre -2 e 2.

Se   o sistema é caótico, para valores iniciais dentro de um conjunto de Cantor.

A função quadráticaEditar

No caso particular   a função que gera o mapa quadrático é a função quadrática

 

Neste sistema, a origem do plano complexo é um ponto fixo atrativo. Usando a forma polar dos números complexos,

 
vemos que:
 

Assim, podemos concluir que,

  • Se   o estado do sistema aproxima-se assimptoticamente da origem.
  • Se   o estado do sistema afasta-se até o infinito.
  • Se   o estado do sistema roda sobre o círculo de raio igual a 1, e em cada iteração duplica-se o ângulo. Trata-se de um sistema caótico.

Conjunto de JuliaEditar

Partindo de um ponto inicial no plano complexo, em alguns casos obtém-se sequências limitadas, que podem ser ciclos, ou soluções caóticas.

O conjunto de Julia é o conjunto de todos os pontos do plano complexo, que conduzem a sequências limitadas.

Por exemplo, os pontos em negro na figura são o conjunto de Julia para o mapa quadrático com   A origem encontra-se no centro do quadrado. A região apresentada corresponde a valores reais e imaginários menores que 1.3 em valor absoluto.

Os pontos que não pertencem ao conjunto de Julia foram representados com uma cor, que corresponde ao número de iterações antes de a sequência se afastar da origem mais do que 2 unidades (se após 40 iterações isso não tivesse acontecido, o ponto foi pintado de negro).

Critério de convergênciaEditar

Para o mapa quadrático pode-se demonstrar que se para algum valor de   o número complexo   sair do círculo de raio 2, com centro na origem, a sequência correspondente diverge até o infinito. Os números complexos que fazem parte do conjunto de Julia estão todos dentro desse círculo, e para qualquer   nas sequências geradas a partir do conjunto de Julia, verifica-se a condição  

Assim, para desenhar o conjunto de Julia, selecionam-se vários pontos numa região, e calcula-se a sequência de iterações do mapa quadrático, até que a sequência dei um valor complexo com módulo maior que 2, ou   for igual a um número máximo de iterações. Cada ponto desenha-se com uma cor diferente, de acordo com o número de elementos da sequência obtida. Se esse número for igual ao número máximo de iterações usadas, admitimos que o ponto faz parte do conjunto de Julia.

Obviamente, que a representação do conjunto de Julia assim obtida será apenas uma aproximação, que será melhor quanto maior for o número máximo de iterações usado.

O conjunto de MandelbrotEditar

O conjunto de Mandelbrot define-se como o conjunto de pontos   do plano complexo, que fazem com que a solução do mapa quadrático, com valor inicial na origem, seja limitada. Nomeadamente, se para um determinado valor   a sequência

 
nunca se afasta para o infinito, o ponto   pertence ao conjunto de Mandelbrot.

O critério de convergência é o mesmo que no caso do conjunto de Julia e a interpretação das cores no diagrama é a mesma que nos gráficos do conjunto de Julia. Cada cor indica o número de iterações necessárias para que o mapa quadrático, com constante   igual à posição desse ponto no plano complexo, e com valor inicial 0, produza um número por fora da região de convergência.

Ligações externasEditar

Ver tambémEditar