Sistema linear

Disambig grey.svg Nota: Para outros significados, veja Sistema de equações lineares.

Na teoria dos sistemas, um sistema linear é um modelo matemático de um sistema baseado no uso de um operador linear . Os sistemas lineares normalmente exibem recursos e propriedades que são muito mais simples do que o caso não linear. Como abstração ou idealização matemática, os sistemas lineares encontram aplicações importantes na teoria do controle automático, processamento de sinais e telecomunicações . Por exemplo, o meio de propagação para sistemas de comunicação sem fio pode frequentemente ser modelado por sistemas lineares.

DefiniçãoEditar

Um sistema determinístico geral pode ser descrito por um operador,  , que mapeia uma entrada,  , como a função de   para uma saída,  , um tipo de descrição de caixa preta . Os sistemas lineares satisfazem a propriedade de superposição . Dadas duas entradas válidas

 
 

bem como seus respectivos resultados

 
 

então um sistema linear deve satisfazer

 

para quaisquer valores escalares   e   .

O sistema é então definido pela equação  , Onde   é alguma função arbitrária do tempo, e   é o estado do sistema. Dado   e  , o sistema pode ser resolvido para   . Por exemplo, um oscilador harmônico simples obedece à equação diferencial:

  .

Se

  ,

então   é um operador linear. De locação  , podemos reescrever a equação diferencial como  , o que prova que um oscilador harmônico simples é um sistema linear.

O comportamento do sistema resultante sujeito a uma entrada complexa pode ser descrito como uma soma de respostas a entradas mais simples. Em sistemas não lineares, não existe tal relação. Esta propriedade matemática torna a solução das equações de modelagem mais simples do que muitos sistemas não lineares. Para sistemas invariantes no tempo, esta é a base da resposta ao impulso ou os métodos de resposta de frequência (ver teoria do sistema LTI ), que descreve uma função de entrada geral   em termos de impulsos unitários ou componentes de frequência .

Equações diferenciais típicas de sistemas lineares invariantes no tempo são bem adaptadas para análise usando a transformada de Laplace no caso contínuo, e a transformada Z no caso discreto (especialmente em implementações de computador).

Outra perspectiva é que soluções para sistemas lineares compreendem um sistema de funções que atuam como vetores no sentido geométrico.

Um uso comum de modelos lineares é descrever um sistema não linear por linearização . Isso geralmente é feito por conveniência matemática.

Resposta ao impulso variável com o tempoEditar

A resposta ao impulso variável no tempo h ( t 2, t 1 ) de um sistema linear é definida como a resposta do sistema no tempo t = t 2 a um único impulso aplicado no tempo t = t 1 . Em outras palavras, se a entrada x ( t ) para um sistema linear é

 

onde δ ( t ) representa a função delta de Dirac, e a resposta correspondente y ( t ) do sistema é

 

então, a função h ( t 2, t 1 ) é a resposta do sistema ao impulso variável no tempo. Uma vez que o sistema não pode responder antes que a entrada seja aplicada, a seguinte condição de causalidade deve ser satisfeita:

 

A convolução integralEditar

A saída de qualquer sistema linear de tempo contínuo geral está relacionada à entrada por uma integral que pode ser escrita em um intervalo duplamente infinito em decorrência da condição de causalidade:

 

Se as propriedades do sistema não dependem do tempo em que ele é operado, então ele é considerado invariante no tempo (estacionário) e h () é uma função apenas da diferença de tempo τ = tt 'que é zero para τ <0 ( ou seja, t <t '). Por redefinição de h (), é então possível escrever a relação de entrada-saída de forma equivalente em qualquer uma das maneiras,

 

Os sistemas lineares invariantes no tempo são mais comumente caracterizados pela transformada de Laplace da função de resposta ao impulso chamada de função de transferência, que pode ser descrita como:

 

Em aplicações, geralmente é uma função algébrica racional de s. Como h (t) é zero para t negativo, a integral pode igualmente ser escrita na faixa duplamente infinita e colocar s = iω segue a fórmula para a função de resposta em termos da frequência :

 

Sistemas de tempo discretoEditar

A saída de qualquer sistema linear de tempo discreto está relacionada à entrada pela soma da convolução variável no tempo, como descrito abaixo:

 

ou equivalentemente para um sistema invariante no tempo na redefinição de h (),

 

Onde

 

representa o intervalo de tempo entre o estímulo no tempo m e a resposta no tempo n .

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar

  • Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
  • Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X