Na matemática, a soma de Riemann é uma aproximação obtida pela expressão .

Quatro dos métodos do somatório de Riemann para aproximação da área sob curvas. Métodos à direita e à esquerda fazem a aproximação usando os pontos finais à direita e à esquerda de cada subintervalo, respectivamente. Métodos máximo e mínimo fazem a aproximação usando o maior e menor valores de pontos finais de cada subintervalo, respectivamente. Os valores das somas convergem como os subintervalos da metade superior à esquerda a baixo à direita.

É nomeada em homenagem ao matemático alemão Bernhard Riemann. Uma aplicação muito comum é a aproximação da área de funções ou linhas em um gráfico, mas também o comprimento das curvas e outras aproximações.

A soma é dada pela divisão da região a ser calculada em formas (retângulos, trapézios, parábolas ou cubos) que juntos formam uma região que é similar àquela a ser medida, então calcula-se a área de cada uma das formas, e finalmente soma-se todas essas áreas menores juntas.  Essa abordagem pode ser usada para encontrar uma aproximação numérica para a integral definida mesmo se o teorema fundamental do cálculo não ajudar a encontrar uma forma fechada.

Tendo em vista que a região preenchida pelas formas menores geralmente não corresponde a exata forma da região a ser medida, a Soma de Riemann será diferente desta. Esse erro pode ser reduzido se a região for mais dividida, usando formas cada vez menores. Ao passo que as formas ficam menores, a soma se aproxima a Integral de Riemann.

Normalmente a Soma de Riemann tem uma aplicação ótima para funções polinomiais ou algébricas, o que significa que é possível precisar o valor exato do limite da soma com facilidade. Porém, para funções ditas transcendentes o cálculo da integral definida é não trivial por Riemann, ocorrendo ele comumente pela formação de retângulos de forma análoga ao método da exaustão.

Definição

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Considere f:D → R sendo uma função definida do subconjunto D, de números reais, R. Tome I = [ab] como um intervalo fechado contido em D, e

 

sendo uma partição de I, onde

 

Uma soma de Riemann de f sobre I com a partição P é definida como

 

Atenção no uso de “uma” ao invés de “a” em referência a soma de Riemann. Isso ocorre pelo fato que a escolha de    no intervalo    é arbitrária, dado o fato que qualquer função f definida em um intervalo I e na partição fixada P, pode produzir uma soma de Riemann diferente em decorrência de qual   foi escolhido, desde que   se mantenha verdadeiro.

Exemplo: Escolhas específicas de   nos dão diferentes tipos de soma de Riemann:

  • Se   para todo i, então S é chamado de Soma de Riemann à Esquerda;
  • Se   para todo i, então  S é chamado de Soma de Riemann à Direita;
  • Se   para todo i, então é S é chamado de Soma de Riemann Média.
  • A média entre a Soma à Esquerda e a Soma à Direita é chamada de Soma Trapezoidal.
  • Se é dado que    onde   é o supremo de f sobre   , então S é definido como uma Soma de Riemann Superior;
  • De forma semelhante, se   é o ínfimo de f sobre   , então S é definido como uma Soma de Riemann Inferior.

Qualquer soma de Riemann em dada partição (isto é, qualquer soma obtida pela escolha de   entre   e   ) está entre as somas de Riemann superior e a inferior. Uma função é definida como integrável por Riemann se a soma inferior e superior forem se aproximando conforme a partição se afina. Este fato pode ser também usado para a integração numérica.

Método

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Soma de Riemann à Esquerda[1]
 
Soma de Riemann à Direita

Os quatro métodos de Riemann para a soma são geralmente melhor usados com partições de tamanhos equivalentes. O intervalo [a, b] é, portanto, dividido em n subintervalos, de comprimento

    Os pontos na partição serão então  

Soma de Riemann à Esquerda

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Para a Soma de Riemann à Esquerda, aproxima-se a função pelo seu valor no ponto final à esquerda, dando múltiplos retângulos com base Δx e altura f(a+iΔx). Tomando para i = 0, 1, ... n-1, e adicionando as áreas resultantes temos

 

 A soma de Riemann à esquerda resulta em uma superestimação se f está monotonicamente decrescendo nesse intervalo, e em uma subestimação se f está monotonicamente crescendo.

Soma de Riemann à Direita

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Nessa soma, aproxima-se f de seu valor no ponto final à direita. São gerados, então, múltiplos retângulos de base Δx e altura f(a+Δx). Tomando para i – 1 , ..., n e adicionando as áreas resultantes se produz

   

 
Soma de Riemann Média

A soma de Riemann à direita resulta em uma subestimação se f está monotonicamente decrescendo, e uma superestimação se f está

monotonicamente crescendo. O erro na fórmula será

 

 onde   é o valor máximo do valor absoluto de   nesse intervalo.

 
Soma de Riemann Regra Trapezoidal

Soma Média

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Aproximando f no ponto médio dos intervalos expressam f(a+Δx/2) para o primeiro intervalo, para o próximo temos f(a+3Δx/2), e assim por diante até f(b-Δx/2). Somando as áreas temos

  

O erro dessa formula será

 

onde   é o valor máximo do valor absoluto de   nesse intervalo.

Regra Trapezoidal

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Nesse caso, os valores da função f no intervalo são aproximados pela média dos valores nos pontos finais da direita e da esquerda. Dessa mesma maneira, um simples cálculo usando a formula da área

 

 para um trapézio de lados paralelos b1, b2 e altura h produz

 

O erro dessa fórmula será

 

 onde   é o valor máximo do valor absoluto de  

 A aproximação obtida com a regra do trapézio para a função é o mesmo que a média da somas esquerdas e direitas dessa função.

Exemplo

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O valor da Soma de Riemann sob a curva y=x² de 0 à 2. Conforme o número de retangulos aumenta, aproxima-se da área exata de 8/3[2]

Tomado um exemplo, a área sob a curva de y=x2 entre 0 e 2 pode ser processualmente computada usando o método de Riemann.

O intervalo [0,2] é primeiramente dividido em n subintervalos, cada um deles com comprimento de   ; esse é o comprimento dos retângulos de Riemann (a seguir chamadas “caixas”). Já que será usada a soma de Riemann à direita, a sequência de coordenadas x para as caixas será  . Dessa forma, a sequência de alturas das caixas será  . É um fato importante que   e  .

A área de cada caixa será   e sendo assim a soma de Riemann à direita será: 

 

Se o limite é visualizado como  n → ∞, pode-se concluir que a aproximação alcança o valor real da área  sob a curva ao passo que o número de caixas aumenta.

Consequentemente:

  .

Esse método concorda com a integral definida tal qual calculada nos modos mais mecânicos:

 

Animações

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Soma de Riemann à Esquerda
 
Soma de Riemann à Direita
 
Soma de Riemann Média
 
Soma de Riemann para y=x²

Ver também

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Integral de Riemann

Integral de Riemann-Stieltjes

Integral de Lebesgue

Fórmula de Simpson

Primitiva

Referências

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  • Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7
  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 25 de março de 2016 
  2. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 19 de março de 2016