Subobjeto

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Na teoria das categorias, um ramo da matemática, um subobjeto é, grosso modo, um objeto que está dentro de outro objeto da mesma categoria. A noção é uma generalização dos conceitos de subconjunto (da teoria de conjuntos) e subgrupo (da teoria de grupos). Uma vez que a real estrutura dos objetos é irrelevante na teoria de categorias, e não há necessariamente um conceito de "elemento", a definição de subobjeto se baseia em um morfismo que descreve como um objeto se situa dentro de outro.[1][2]

DefiniçãoEditar

Seja C uma categoria. Para monomorfismos u : sa e v : ta em C, de contradomínios iguais, escreve-se uv quando u = vu para alguma seta u′ : st. (Pode-se ver que há no máximo uma seta u com essa propriedade, e, quando existe, u é um monomorfismo.) Então, define uma pré-ordem, de modo que

uv se e só se uv e vu

define uma relação de equivalência. Um subobjeto de a é uma classe de equivalência (em ) de monomorfismos de contradomínio a.[3][2]

ExemplosEditar

  • Na categoria dos conjuntos Set, os subobjetos de A correspondem biunivocamente aos subconjuntos de A. De fatos, dados monomorfismos (isto é, funções injetivas) u : SA e v : TA, vale que uv se e só se a imagem de u está contida na imagem de v. Cada subconjunto SA se associa ao subobjeto que é a classe de equivalência do monomorfismo SA dado pela inclusão.[4]
  • Similarmente, na categoria dos grupos Grp, os subobjetos correspondem a subgrupos; na categoria dos anéis Anel, os subobjetos correspondem a subanéis; etc.[4]
  • Porém, na categoria dos espaços topológicos Top, os subobjetos comuns não correspondem aos subespaços. O motivo é que há monomorfismos (isto é, funções contínuas injetivas) para os quais o domínio tem topologia mais fina do que o contradomínio. Isso pode ser resolvido considerando uma classe menor de subobjetos, como subobjetos regulares.[5]

Tipos de subobjetosEditar

Por vezes, pode ser útil restringir a atenção a uma classe menor de monomorfismos.

  • Um monomorfismo u : sa é dito ser um monomorfismo regular quando u é equalizador de alguma dupla de morfismos f, g : ab.[6]
  • Um monomorfismo u : sa é dito ser um monomorfismo extremal quando, para quaisquer morfismos e : ss e f : s′ → a tais que e é epimorfismo e u = fe, vale que e é um isomorfismo.[7]

Desse modo, usando-se as mesmas relações e , uma subobjeto regular (respectivamente extremal) é uma classe de equivalência de monomorfismos regulares (respectivamente extremais) de mesmos contradomínios.

A seguir, alguns exemplos.

  • Na categoria Set, todo monomorfismo é regular. Com efeito, um monomorfismo u : SA é equalizador da dupla f, g : A → {0, 1}, onde f é a função constantemente um e g é a função característica da imagem de u. Similarmente, todo monomorfismo em Set é extremal.[8][9]
  • Na categoria Top, um monomorfismo u : SA é extremal se e só se sua correstrição é homeomorfismo S → im(u). Com efeito, numa direção, se u : SA é monomorfismo extremal, escrevendo-se u = fe, onde e : S → im(u) é a correstrição de u e onde f : im(u) → A é a inclusão, como e é sobrejetivo (logo epimorfismo), é um isomorfismo (isto é, homeomorfismo). Na categoria Top, um monomorfismo é regular precisamente quando é extremal. Desse modo, os subobjetos regulares e extremais em Top correspondem precisamente a subespaços.[8][9]
  • Na categoria de espaços topológicos de Hausdorff Haus, um monomonorfismo u : SA é extremal se e só se é regular, se e só se a correstrição de u é homeomorfismo S → im(u) e im(u) é subespaço fechado de A. Desse modo, os subobjetos regulares e extremais em Haus correspondem precisamente a subespaços fechados.[9]
  • Na categoria Grp, todo monomorfismo é regular.[10]
  • Na categoria Anel, a inclusão ℤ → ℚ é um monomorfismo não regular.[8]

PropriedadesEditar

  • Toda seção é um monomorfismo regular.[11]
  • Todo monomorfismo regular é extremal. Mais geralmente, se f é monomorfismo extremal e g é monomorfismo regular, então gf é monomorfismo extremal.[12]
  • Todo monomorfismo extremal que é epimorfismo é um isomorfismo.[13]
  • Um ínfimo de uma família (ui : sia)iI de monomorfismos de mesmo contradomínio é o mesmo que um produto fibrado (pullback) v : sa dessa família. (O ínfimo da família dos subobjetos correspondentes também é chamado de interseção.)[2]

Objeto quocienteEditar

Um objeto quociente numa categoria C é um subobjeto na categoria oposta Cop.

Expande-se essa definição. Para epimorfismos p : as e q : at, escreve-se pq quando p = p′ ∘ q para alguma seta p′ : ts. A relação é definida como antes, e um objeto quociente é uma classe de equivalência de epimorfismos de mesmo domínio.[14]

Um epimorfismo p : as é dito ser um epimorfismo regular quando p é coequalizador de alguma dupla f, g : ba. Um epimorfismo p : as é dito ser epimorfismo extremal quando, em cada fatoração p = mf na qual m é monomorfismo, vale que m é isomorfismo.[15][16]

Alguns exemplos.

  • Na categoria Set, objetos quocientes de A correspondem biunivocamente a relações de equivalência em A.[17]
  • Na categoria Grp, todo epimorfismo é regular;[10] também, objetos quocientes de grupo A correspondem biunivocamente a relações de equivalência em A que preservam a operação, isto é, correspondem biunivocamente a subgrupos normais de A.[17]
  • Na categoria Anel, objetos quocientes regulares de anel A e objetos quocientes extremais coincidem, e correspondem biunivocamente a ideais de A.[17]
  • Na categoria dos espaços compactos de Hausdorff, os objetos quociente de A correspondem biunivocamente a relações de equivalência em A de gráfico sendo subconjunto fechado de A × A.[17]

Referências

  1. ADÁMEK 2004, §II.7.77.
  2. a b c MAC LANE 1998, §V.7.
  3. ADÁMEK 2004, §II.7.79.
  4. a b ADÁMEK 2004, §II.7.81.
  5. ADÁMEK 2004, p. 114.
  6. ADÁMEK 2004, §II.7.56.
  7. ADÁMEK 2004, §II.7.61.
  8. a b c ADÁMEK 2004, §II.7.58.
  9. a b c ADÁMEK 2004, §II.7.64.
  10. a b TRIMBLE 2020.
  11. ADÁMEK 2004, §II.7.59.
  12. ADÁMEK 2004, §II.7.62.
  13. ADÁMEK 2004, §II.7.66.
  14. ADÁMEK 2004, §II.7.85.
  15. ADÁMEK 2004, §II.7.71.
  16. ADÁMEK 2004, §II.7.74.
  17. a b c d ADÁMEK 2004, §II.7.86.

BibliografiaEditar