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Subconjunto

(Redirecionado de Subconjunto próprio)
Diagrama de Euler ilustrando o fato de que é subconjunto de ou, equivalentemente, que é superconjunto de

Em teoria dos conjuntos, quando todo elemento de um conjunto é também elemento de um conjunto dizemos que é um subconjunto ou uma parte de e denotamos (lê-se: está contido em ou é subconjunto de ou é uma parte de ) ou ainda (lê-se: contém ou é superconjunto de ou tem como parte)[1]. Esta relação é conhecida por inclusão de conjuntos. Em linguagem simbólica,

Índice

PropriedadesEditar

  • A inclusão de conjuntos é uma relação reflexiva, ou seja,   qualquer que seja o conjunto  
    Realmente, a condicional   é uma tautologia. Assim,   tanto se   como também se   E, por definição,  
  • A inclusão de conjuntos é uma relação transitiva, ou seja, se   e   então  
    Se     (e assumir que   é irrelevante). Então, assuma que   e seja   Por hipótese,   e, pela definição de inclusão,   Assim,   Também por hipótese   isto é, se   também   Em particular, para   temos   Como   era arbitrário, todo elemento de   é também elemento de   ou seja,  
  • A inclusão de conjuntos é uma relação anti-simétrica, ou seja, se   e   então  
    De fato, isto é o que diz o axioma da extensão.
  • Pelas três propriedades acima, dado um conjunto não-vazio   e uma coleção   de subconjuntos de   a relação de inclusão   é uma relação de ordem parcial em  
    A inclusão de conjuntos é a relação de ordem parcial canônica — no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado (X,  ) é isomorfo a alguma coleção de conjuntos ordenada pela inclusão. Os números ordinais constituem um exemplo simples — se cada ordinal   é identificado com o conjunto   de todos os ordinais menores ou igual a   então   se e somente se  

Subconjunto próprioEditar

Dizemos que um conjunto   é um subconjunto próprio de um conjunto   se   (  é subconjunto de  ) e   (  é diferente de  ). Explicitamos este fato com a notação especial   ou ainda   (lê-se: A é um superconjunto próprio de B). Isto quer dizer que   está estritamente contido em   ou seja, existe pelo menos um   tal que   Em particular, o conjunto vazio é um subconjunto próprio de todo conjunto não-vazio. E, evidentemente,   é o único subconjunto de um conjunto   que não é próprio. Assim, dizemos que   é um subconjunto impróprio (superconjunto impróprio) de  

ExemplosEditar

  • O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto dado.
  • O conjunto {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3}.
  • O conjunto {x : x é um número primo maior do que 10} é um subconjunto próprio de {x : x é um número ímpar maior do que 10}.
  • O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade.
  • O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.

Ver tambémEditar

NotasEditar

  1. Uma notação alternativa para   é subconjunto de  , tão comum quanto   é   Similarmente, usa-se também   para denotar que   é superconjunto de  .

ReferênciasEditar

Ligações externasEditar