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Integração por substituição trigonométrica

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A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.

Substituição trigonométricaEditar

Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria  

É fácil de perceber, que as funções   e   podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:

 

 

Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por  

 

 

Resultando em:

 

Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:

 
para  , sendo a uma constante positiva.

 
para  , com a > 0

 
para  , sendo a maior do que zero, constante.

Substituição inversaEditar

Deve se ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.

 

 
,  

 

ExemploEditar

Considere a integral   usando a substituição  , obtêm-se  

 
 

A integral de cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes

 
 
 
 

Voltando a equação original

 

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito transpondo o ângulo   para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a   igual a  , consequentemente o cateto adjacente ao ângulo   valerá  . Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:

 
 

O ângulo   pode ser expresso como  Obtendo assim como resposta final: