Tabela-verdade

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Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela matemática usada em lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é correto.

As tabelas da verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege, Charles Peirce e outros nomes da década de 1880, e tomaram a forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. A publicação do Tractatus Logico-Philosophicus, de Wittgenstein, utilizava as mesmas para classificar funções veritativas em uma série. A vasta influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de tabelas da verdade.

Como construir uma tabela-verdadeEditar

Uma tabela-verdade consiste em:

  1. uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula ¬((A∧B)→C) tem o seguinte conjunto de subfórmulas:
    { ¬((A∧B)→C) , (A∧B)→C , A∧B , A , B , C}
  2. L linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos;
    o número destas linhas é L = nt , sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do cálculo proposicional clássico) e t o número de termos que a fórmula contém; assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F).

Para proposições com mais de três termos, basta seguir o mesmo raciocínio apresentado nas imagens acima.

Tabelas das principais operações do cálculo proposicionalEditar

Negação (~)Editar

A ~A
V F
F V

A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa, e vice-versa.

Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =NÃO(C1;C2)

Conjunção (∧)Editar

A B A ∧ B
V V V
V F F
F V F
F F F

A conjunção é verdadeira se e somente se ambos os operandos são verdadeiros.

Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =E(C1;C2)

Disjunção (v)Editar

A B AvB
V V V
V F V
F V V
F F F

[1]

A disjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos forem falsos.

Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =OU(C1;C2)

Disfunção (f)Editar

A B AfB
V V F
V F F
F V F
F F F

A disfunção é necessariamente falsa, independente dos operandos.

Condicional (se... então) [implicação]Editar

A B A→B
V V V
V F F
F V V
F F V

A condicional é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso.

Bicondicional (se e somente se) [equivalência]Editar

A B A↔B
V V V
V F F
F V F
F F V

A bicondicional é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros. Trata-se de um detetor de igualdade.

Disjunção exclusiva (OU EXCLUSIVO... ou XOR)Editar

A B AB
V V F
V F V
F V V
F F F

A disjunção exclusiva é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro. Trata-se de um detetor de desigualdades.

Adaga de Quine (NOR)Editar

A B A∨B A↓B
V V V F
V F V F
F V V F
F F F V

A Adaga de Quine (negação da disjunção) é verdadeira se e somente se os operandos são falsos.

Como usar tabelas para verificar a validade de argumentosEditar

Verifique se a conclusão nunca é falsa quando as premissas são verdadeiras. Em caso positivo, o argumento é válido. Em caso negativo, é inválido.

Alguns argumentos válidosEditar

  • Modus ponens
 
A B A→B
V V V
V F F
F V V
F F V

[2]

  • Modus tollens
 
A B ¬A ¬B A→B
V V F F V
V F F V F
F V V F V
F F V V V
  • Silogismo hipotético
 
A B C A→B B→C A→C
V V V V V V
V V F V F F
V F V F V V
V F F F V F
F V V V V V
F V F V F V
F F V V V V
F F F V V V

Algumas faláciasEditar

  • Afirmação do consequente
Se A, então B. (A→B)
B.
Logo, A.
A B A→B
V V V
V F F
F V V
F F V
  • Comutação dos condicionais
A implica B. (A→B)
Logo, B implica A. (B→A)
A B A→B B→A
V V V V
V F F V
F V V F
F F V V

Como usar tabelas para verificar a equivalência de fórmulasEditar

A∧B ≡ ¬(B→¬A) ≡ ¬(¬A∨¬B) ≡ ¬A↓¬B
A B ¬A ¬B A∧B B→¬A ¬(B→¬A) ¬A∨¬B ¬(¬A∨¬B) ¬A↓¬B
V V F F V F V F V V
V F F V F V F V F F
F V V F F V F V F F
F F V V F V F V F F
A→B ≡ ¬(A∧¬B) ≡ ¬A∨B ≡ ¬(¬A↓B)
A B ¬A ¬B A→B A∧¬B ¬(A∧¬B) ¬A∨B ¬A↓B ¬(¬A↓B)
V V F F V F V V F V
V F F V F V F F V F
F V V F V F V V F V
F F V V V F V V F V
A∨B ≡ ¬(¬A∧¬B) ≡ ¬A→B ≡ ¬(A↓B)
A B ¬A ¬B ¬A∧¬B ¬(¬A∧¬B) ¬A→B A↓B ¬(A↓B)
V V F F F V V F V
V F F V F V V F V
F V V F F V V F V
F F V V V F F V F

Resumo das tabelas das operações do cálculo proposicionalEditar

n Operação 1 Operação 2 nome
A V V F F
B V F V F
0 A∧¬A B∧¬B F F F F Contradição
1 A↓B ¬(A∨B) F F F V p nor q
2 ¬(B→A) B∧¬A F F V F Negação da condicional
3 ¬A F F V V not A
4 ¬(A→B) A∧¬B F V F F Negação da condicional
5 ¬B F V F V not B
6 AB A B F V V F xor
7 ¬(A∧B) ¬(B∧A) F V V V nand
8 A∧B B∧A V F F F Conjunção
9 A↔B B↔A V F F V Bicondicional
10 B V F V F B
11 A→B ¬A∨B V F V V Condicional
12 A V V F F A
13 B→A A∨¬B V V F V Condicional
14 A∨B B∨A V V V F Disjunção
15 A∨¬A B∨¬B V V V V Tautologia


Ver tambémEditar

Referências

  1. «O Monitor - Resolve, confere e ilustra». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 
  2. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 

Ligações externasEditar

 
O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Tabela-verdade
  • Karma: software acadêmico para visualização e solução de mapas de Karnaugh de 2 até 8 variáveis. Inclui tabelas verdade e outras ferramentas de síntese lógica. LogiCS, UFRGS.