Abrir menu principal
Question book-4.svg
Esta página cita fontes confiáveis e independentes, mas que não cobrem todo o conteúdo (desde Abril de 2012). Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável poderá ser removido.—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

Em matemática, binómio de Newton (português europeu) ou binômio de Newton (português brasileiro) permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto, deve-se salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade, o que Newton estudou foram regras que valem para quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.[1]

Casos particulares do Binômio de Newton são:

Índice

Notação e fórmulaEditar

O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:

 

Os coeficientes   são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

  onde   e   são inteiros,   e   é o fatorial de x.

O coeficiente binomial   corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n elementos agrupados k a k.

O triângulo de PascalEditar

 Ver artigo principal: Triângulo de Pascal

Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal.

O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais   onde   representa o número da linha (posição vertical) e   representa o número da coluna (posição horizontal).

A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.

O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal:

 
O triângulo de Pascal.
 

Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O matemático persa Omar Khayyám, pode ter sido o primeiro a descobrir.

Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:

 
 
 
 
O triângulo de Pascal

Para resolvermos binômios do tipo (x+y)n é possível utilizar o triângulo de pascal, onde n é a linha reapresentada no triângulo (na imagem indo de 0 à 14). Para iniciar o processo utilizamos o primeiro (x) termo da esquerda para a direita:

(x+y)n= __xn___+__x(n-1)__x(n-2)+ ...+__x(n-n)__

Agora seguindo o mesmo procedimento para o segundo termo (y), porém da direita para a esquerda:

(x+y)n=__xn y(n-n)+__x(n-1) y1+__x(n-2) y2+ ...+__x(n-n) yn.

Para sabermos os coeficientes deste binômio basta olhar, no triângulo de Pascal, a n-ésima linha e colocá-los na ordem em que se encontra.

Para isso, segue o seguinte exemplo:

 

Podemos ver que os coeficientes correspondem aos da linha 3 do triângulo de Pascal.

Neste exemplo podemos verificar que os coeficientes são, consecutivamente, os valores da linha 3 do triângulo de Pascal.

Sendo assim teríamos para cada linha do triângulo de Pascal um binômio[2]:

n (x+y)n
0 1 1
1 1 1 x+y
2 1 2 1 x2+2xy+y2
3 1 3 3 1 x3+3x2y+3xy2+y3
4 1 4 6 4 1 x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4
5 1 5 10 10 5 1 x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5
6 1 6 15 20 15 6 1 x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6

Demonstração do teorema do Binômio de NewtonEditar

Antes de começar, vale lembrar que:

  (1)

Sejam x, y elementos de um anel comutativo( xy=yx) e n um inteiro não-negativo.

 

Demonstraremos por indução matemática.

Base:
 
 
Recorrência:

Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1:

Da hipótese de indução:

 

Por distributividade de produto sob a soma:

 

Que pode ser reescrito usando (1):

 
 

Usando a formula do triângulo de Pascal:

 

Reagrupando o somatório:

 

E segue o resultado.

AplicaçõesEditar

O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões matemáticas, através da escolha adequada de x e y. Por exemplo:

  •  
  •  
  •  
  •   onde   são os polinómios de Bernstein.
Recomendado: 


Referências

  1. GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. Editora Livraria da Física. São Paulo, 2007. ISBN 85-88325-76-4
  2. «Pascal's triangle and the binomial theorem» (PDF). www.mathcentre.ac.uk. Consultado em 5 de dezembro de 2018  line feed character character in |titulo= at position 22 (ajuda)

Ver tambémEditar