Teorema da categoria de Baire

Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema da categoria de Baire ou apenas teorema de Baire fornece condições suficientes para estabelecer que determinado espaço topológico é um espaço de Baire, ou seja, um espaço de segunda categoria em si mesmo. Este resultado possui esse nome em homenagem ao matemático René-Louis Baire (1874 - 1932), onde em sua tese intitulada Sur les fonctions de variable réelles ("On the Functions of Real Variables"), trouxe a noção de conjunto magro e o resultado que leva seu nome.

EnunciadoEditar

  • Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Baire possui os seguintes enunciados equivalentes:
  1. Se   onde  para todo  então  ;
  2. Todo conjunto magro tem interior vazio;
  3. Se  é uma família de conjuntos abertos e densos então  é denso em M.
  • Do ponto de vista topológico, podemos apresentar a seguinte formulação:
  1. Todo espaço localmente compacto de Hausdorff não vazio é um espaço de Baire.

DemonstraçãoEditar

Uma das demonstrações deste resultado, que se faz necessária a completude do espaço na qual estamos trabalhando é feita de forma construtiva. Sabendo que as afirmações citadas são equivalentes, apresentaremos a demonstração do item 3):

Seja  uma família de conjuntos abertos e densos de um espaço métrico completo M. Queremos mostrar que dada qualquer bola aberta  tem-se que  . Assim, seja   uma bola aberta arbitrária, sendo  aberto e denso temos que é aberto e não-vazio, desta forma existe  tal que  . Tomando uma bola aberta  de raio menor que   e menor ou igual a  , temos que  . Prosseguindo da mesma forma, obtemos uma   de raio menor que  tal que  e portanto para todo  , temos que existe  tal que  

Por construção, obtemos uma sequência decrescente  com  . Sendo   completo, segue do caso geral do Teorema do encaixe de intervalos que  . Como,  para todo  e  , segue que  .

ConsequênciaEditar

Uma consequência direta do teorema de Baire é a seguinte:

  • Seja   um espaço métrico completo. Se   enumerável onde cada   é fechado em  , então existe pelo menos um  , tal que  .

AplicaçõesEditar

O teorema de Baire é um importante resultado na matemática, principalmente na análise devido ao seu grande número de consequências. Abaixo apresentaremos algumas de suas aplicações:

  • A reta real   é não-enumerável.

A demonstração deste fato é bastante simples, e segue abaixo: Suponha que   seja enumerável, então  , isto é, podemos escrever   como sendo a reunião enumerável de seus pontos que são claramente fechados em  . Segue então do corolário do teorema de Baire que existe   tal que um dos pontos de   tem interior não-vazio, o que é um absurdo.

  • Seja   um intervalo e   o conjunto das aplicações limitadas   com a métrica da convergência uniforme  . O conjunto   é magro em  , ou seja, o conjunto das funções   que não possuem derivada em ponto algum de   contém uma interseção enumerável de abertos densos em  . De maneira intuitiva, este resultado garante que existem mais funções contínuas que não possuem derivada em ponto algum de   do que as que possuem.
  • Seja   espaços métricos e   uma sequência de aplicações contínuas tal que   converge para   simplesmente. Se M é completo então o conjunto dos pontos de descontinuidades de   é magro em  .

Na análise funcional:

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ReferênciasEditar

  • LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. Rio de Janeiro. Editora Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2003.