Teorema da convergência dominada

Em teoria da medida, o teorema da convergência dominada de Lebesgue oferece condições suficientes sob as quais a convergência em quase qualquer lugar de uma sequência de funções implica convergência na norma L¹. Sua potência e sua utilidade são duas das primeiras vantagens teóricas da integração de Lebesgue sobre a integração de Riemann.

É amplamente usada em teoria das probabilidades, já que dá uma condição suficiente para a convergência de valores esperados de variáveis aleatórias.[1]

EnunciadoEditar

Considere   uma sequência de funções mensuráveis de valores reais em um espaço de medida  . Suponha que a sequência converge pontualmente a uma função   e é dominada por alguma função integrável   no sentido em que:

 

para todos os números   no conjunto de índices da sequência e todos os pontos  . Então,   é integrável e

 

o que também implica

 

A afirmação "  é integrável" é entendida no sentido de Lebesgue, isto é,

 

A convergência da sequência e a dominação por   podem ser relaxadas a ponto de manter apenas  -quase em todo lugar, desde que o espaço de medida   seja completo ou   seja escolhida como uma função mensurável que concorda com  -quase em todo lugar com um limite pontual existente em  -quase em todo lugar. Estas precauções são necessárias, porque, de outra forma, pode existir um subconjunto não-mensurável de um conjunto  -nulo  , assim,   pode não ser mensurável.

Se  , a condição de que haja uma função integrável dominante pode ser relaxada ao ponto da integrabilidade uniforme da sequência  .[2]

ProvaEditar

O teorema da convergência dominada de Lebesgue é um caso especial do teorema de Fatou–Lebesgue. Abaixo, entretanto, está uma prova direta que usa o lema de Fatou como ferramenta essencial.

Já que   é o limite pontual da sequência   das funções mensuráveis que são dominadas por  , é também mensurável e dominada por  , logo, é integrável. Além disto,

 

para todo   e

 

A segunda afirmação é trivialmente verdadeira (pela própria definição de  . Usando a linearidade e monotonicidade da integral de Lebesgue,

 

Pelo lema de Fatou reverso (é aqui que usamos o fato de que   é limitado acima por uma função integrável),

 

o que implica que o limite existe e se esvai, isto é,

 

Finalmente, já que

 

temos

 

Se os pressupostos se mantêm apenas  -quase em todo lugar, então, existe um conjunto  -nulo  , tal que as funções   satisfazem os pressupostos em todo lugar em  . Então,   é o limite pontual de   para todo   e   para  , logo,   é mensurável. Os valores das integrais não são influenciados por este conjunto  -nulo  .

O teorema da convergência dominada se mantém mesmo se   convergir a   em medida (medida finita) e a função dominante for não negativa em quase todo lugar.[2]

Discussão dos pressupostosEditar

O pressuposto de que a sequência é dominada por alguma integrável   não pode ser ignorado. Isto pode ser visto como se segue: defina   para   no intervalo   e   em outros casos. Qualquer   que domina a sequência deve também dominar o supremo pontual  . Observe que:

 

pela divergência da série harmônica. Assim, a monotonicidade da integral de Lebesgue nos diz que não existe nenhuma função integrável que domine a sequência em  . Um cálculo direto mostra que a integração e o limite pontual não comutam para esta sequência:

 

porque o limite pontual da sequência é a função zero. Note que a sequência   não é sequer uniformemente integrável, logo, o teorema da convergência de Vitali também não é aplicável.[2]

Teorema da convergência limitadaEditar

Um corolário do teorema da convergência dominada é o teorema da convergência limitada, que afirma que, se   for uma sequência de funções mensuráveis de valores reais uniformemente limitadas que converge pontualmente em um espaço de medida limitado   (isto é, em que   é finito) a uma função  , então, o limite   é uma função integrável e

 

A convergência pontual e a limitação uniforme da sequência podem ser relaxadas a ponto de manter apenas  -quase em todo lugar, desde que o espaço de medida  seja completo ou   seja escolhida como uma função mensurável que concorda com  -quase em todo lugar com o limite pontual existente  -quase em todo lugar.[3]

ProvaEditar

Já que a sequência é uniformemente limitada, há um número real   tal que   para todo   e para todo  . Defina   para todo  . Então, a sequência é dominada por  . Além disso,   é integrável, já que é uma função constante sobre um conjunto de medida finita. Por isso, o resultado segue a partir do teorema da convergência dominada.

Se os pressupostos se mantêm apenas  -quase em todo lugar, então, existe um conjunto  -nulo   tal que as funções   satisfazem os pressupostos em todo lugar em  .[3]

Convergência dominada em espaços Lp (corolário)Editar

Considere   um espaço de medida,   um número real e   uma sequência de funções  -mensuráveis  .

Assuma que a sequência   converge  -quase em todo lugar a uma função    -mensurável e é dominada por um  , isto é, para todo número natural  , temos    -quase em todo lugar.

Então, todas as   assim como   estão em   e a sequência   converge a   no sentido de  , isto é:

 [3]

ExtensõesEditar

O teorema da convergência dominada se aplica também a funções mensuráveis com valores em um espaço de Banach com a função dominante ainda sendo não negativa e integrável como acima. O pressuposto de convergência quase em todo lugar pode ser enfraquecido a ponto de exigir apenas convergência em medida.[1]

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar

  1. a b 1938-, Williams, D. (David), (1991). Probability with martingales 11th print ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521406056. OCLC 22625615 
  2. a b c Bartle, Robert Gardner (6 de fevereiro de 1995). The elements of integration and Lebesgue measure (em inglês). [S.l.]: Wiley. ISBN 9780471042228 
  3. a b c Royden, H. L. (1988). Real Analysis (em inglês). [S.l.]: Macmillan. ISBN 9780024041517