Teorema da função inversa

O teorema da função inversa é um importante resultado da análise real que estabelece a existência, ainda que localmente, de um função inversa para uma aplicação continuamente diferenciável. E embora este teorema possua equivalência com o Teorema da função implícita, cujas ideias apereceram inicialmente nos escritos de Isaac Newton, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) foi o matemático que apresentou um resultado que essencialmente é uma versão do  Teorema da Função Inversa. Além da garantia da inversibilidade de aplicações, podemos utilizar este resultado para demostrar o Teorema fundamental da álgebra e resultados envolvendo superfícies regulares, no ramo da Geometria diferencial. Por outro lado, ainda existem versões generalizadas para este resultado, envolvendo funções holomorfas e aplicações definidas em Espaço de Banach, por exemplo.

Versão na retaEditar

Seja   uma função de classe   num domínio   aberto. Se   e   então existe um intervalo   onde a   é injetora e, portanto, sobrejetiva em sua imagem. Ademais, se   é a inversa de   em sua imagem, temos:

 

Versões em Editar

  • Seja   uma função de classe   em um aberto  . Se  é tal que   é invertível então existe uma bola aberta   tal que restrição   é um difeomorfismo sobre um aberto  .[1]
  • Sejam  um aberto e  de classe   tal que, em um ponto   é um isomorfismo. Então   é um difeomorfismo de classe   de uma vizinhança  de  sobre uma vizinhança  de  .[2]

Métodos de demonstraçãoEditar

Dentre os diversos métodos de demonstração do Teorema da função inversa, podemos destacar os métodos utlizados para as versões acima.

Na primeira versão, utilizamos fundamentalmente um resultado que garante que o inverso de um homeomorfismo de classe  entre abertos é diferenciável de modo que para demonstrar que   é difeomorfismo, faz-se necessário mostrar apenas que  é aberto, em que B é definido a partir da hipóstese que  é invertível e, em particular, é injetiva.

Para segunda versão, podemos considerar a demonstração mais comumente utilizada na literatura, que utiliza-se conceitos advindos da teoria de Espaços Métricos e fundamentam-se no Teorema do ponto fixo de Banach. Nesse senitdo, é utilizado o resultado conhecido como perturbação da identidade para garantir que  é um homeomorfismo de V em um aberto  . Além disso, podemos adequar V de modo que  seja invertível, restando mostrar que  é diferenciável e é de classe  , em que a primeira parte é mostrada por definição e a segunda por indução sobre k.

ExemploEditar

Consideremos   definida por   O determinante jacobiano é:

 

que é não-nulo para todo   Concluimos que   é um difeomorfismo local de classe  

AplicaçõesEditar

Toda matriz próxima da identidade  tem raiz quadrada.Editar

Dadas as matrizes , diz-se que  é raiz quadrada de  quando  . Considerando a aplicação  de classe  , sua derivada num ponto  é a tranformação linear  , dada por  . Em particular, para   tem-se  , logo  é isomorfismo. Então, do teorema da função inversa, existe um aberto  , contendo a matriz identidade, restrita ao qual   é um difeomorfismo sobre o aberto  . Assim, para toda matriz  existe uma única matriz  tal que  . Além disso, a aplicação  é de classe  .

Teorema fundamendal da Álgebra.Editar

Seja   um polinômio complexo não constante,  . Afirmamos que p é sobrejetivo. Em particular, existe   tal que  . 

A demonstração desse teorema utiliza-se inicialmente do conceito de derivada como uma transformação linear para denotar para cada  a derivada de 𝑝 no ponto 𝑧 por    e definir o conjunto  . Uma vez que um polinômio não-nulo possui número finito de raízes, garantimos que o conjunto  , assim como    , é finito e consequentemente   é conexo. A fim de satisfazer as hipóteses do  Teorema da Função Inversa, definimos por restrição de   uma nova aplicação   , garantindo que para cada   é um complexo não-nulo e portanto,  é um isomorfismo. Deste modo, pelo  Teorema da Função Inversa, 𝑃 é uma aplicação aberta, e em particular, a imagem de  𝑃  é um subconjunto aberto de  . Mas por outro lado, pode se mostrar que o conjunto de valores de P é um subconjunto fechado de   , concluindo que a imagem de  𝑝  é aberta e fechada em   , que é conexo. Portanto,  P  é sobrejetivo em  , e como    está contido na imagem de   , tem-se que   é sobrejetivo em   , o que conclui a demonstração.

A inversa de aplicações lineares  é de classe  .Editar

Por simplicidade, ponhamos  . Definamos  por  . Então  com  . Logo  é um isomorfismo, cujo inverso é dado por  . Segue do teorema da função inversa que  é um difeomorfismo local e como  é injetora, segue que é difeomorfismo. Em particular, sua inversa  , dada por  , é diferenciável. Seja  definida por  A composta  é diferenciável. Mas  e, portanto,  é um difeomorfismo. De  , segue-se por fiferenciação que, para todo   e portanto,   Segue-se que  é de classe  

GeneralizaçõesEditar

Espaços de BanachEditar

Seja  uma vizinhança aberta da origem de  e  uma função continuamente diferenciável. Suponha que a derivada de Fréchet  de   no ponto 0 é um isomorfismo linear limitado de X em Y, então existe uma vizinhança aberta  de  em  e uma função continuamente diferenciável  tal que  . Mais ainda,  é a única solução suficientemente pequena x para  .[3]

Funções holomorfasEditar

Seja   uma função holomorfa definida num aberto   em  . Se a matriz jacobiana das derivadas complexas é inversível em um ponto  , então  é uma função inversível na vizinhança de  .[4]

ReferênciasEditar

  1. Lima, Elon Lages, 1929-. Análise real. Rio de Janeiro: [s.n.] ISBN 9788524400483. OCLC 869851054 
  2. Lima, Elon L. (2000). Análise no espaço Rn. Rio de Janeiro: IMPA. ISBN 8524401893. OCLC 56193152 
  3. Luenberger, David G., 1937- ([1998]). Optimization by vector space methods. [S.l.]: Wiley. ISBN 047118117X. OCLC 502210349 
  4. Fritzsche, Klaus. (2011). From holomorphic functions to complex manifolds. [S.l.]: Springer. ISBN 9781441929839. OCLC 752481237