Teorema da raiz complexa conjugada

Em matemática, o teorema da raiz complexa conjugada estabelece que se P é um polinômio em uma variável com coeficientes reais, e a + bi é uma raiz de P com a e b números reais, então seu complexo conjugado a − bi é também uma raiz de P.

Disto segue (e do teorema fundamental da álgebra), que se o grau de um polinômio real é ímpar, o mesmo tem no mínimo uma raiz real. Isto pode ser também provado usando o teorema do valor intermediário.

Exemplos e consequências

• O polinômio x² + 1 = 0 tem raízes ±i.
• Qualquer matriz real quadrada de grau ímpar tem no mínimo um autovalor real. Por exemplo, se a matriz é ortogonal, então 1 ou −1 é um autovalor.
• O polinômio

$x^{3}-7x^{2}+41x-87\,$

tem raízes

$3,\,2+5i,\,2-5i,$

e pode assim ser fatorado como

$(x-3)(x-2-5i)(x-2+5i).\,$

Calculando o produto dos dois últimos fatores, as partes imaginárias são canceladas, resultando

$(x-3)(x^{2}-4x+29).\,$

Os fatores não-reais surgem em pares que quando multiplicados fornecem polinômios quadráticos com coeficientes reais. Como todo polinômio com coeficientes complexos pode ser fatorado em fatores de grau um (esta é uma maneira de estabelecer o teorema fundamental da álgebra), segue que todo polinômio com coeficientes reais pode ser fatorado em fatores de grau não maior que 2: justamente grau 1 e fatores quadráticos.

Corolário sobre polinômios de grau ímpar

Segue do presente teorema e do teorema fundamental da álgebra que se o grau de um polinômio real é ímpar, o mesmo tem necessariamente no mínimo uma raiz real.

Isto pode ser provado como segue.

• Desde que raízes complexas não-reais ocorrem em pares conjugados, existe um número par das mesmas;
• Mas um polinômio de grau ímpar tem número ímpar de raíze;
• Portanto algumas raízes devem ser reais.

Prova simples

Uma prova do teorema é como segue:

Considere o polinômio

$P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}$

onde todos os a_r são reais. Suponha que algum número complexo ζ seja uma raiz de P, isto é P(ζ) = 0. É necessário mostrar que

$P({\overline {\zeta }})=0$

também deve ser satisfeito.

Se P(ζ) = 0, então

$a_{0}+a_{1}\zeta +a_{2}\zeta ^{2}+\cdots +a_{n}\zeta ^{n}=0\,$

que pode ser expresso na forma

$\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}=0.$

Agora

$P({\overline {\zeta }})=\sum _{r=0}^{n}a_{r}\left({\overline {\zeta }}\right)^{r}$

e dada a propriedade de conjugação dos complexos

$\sum _{r=0}^{n}a_{r}\left({\overline {\zeta }}\right)^{r}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\overline {\zeta ^{r}}}=\sum _{r=0}^{n}{\overline {a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}.$

Como

${\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {0}}$

segue que

$\sum _{r=0}^{n}a_{r}\left({\overline {\zeta }}\right)^{r}={\overline {0}}=0.$

Isto é,

$P({\overline {\zeta }})=a_{0}+a_{1}{\overline {\zeta }}+a_{2}\left({\overline {\zeta }}\right)^{2}+\cdots +a_{n}\left({\overline {\zeta }}\right)^{n}=0.$