Teorema de Bolzano-Weierstrass

O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece que um conjunto do é sequencialmente compacto se e somente se é fechado e limitado.

Por sequencialmente compacto, entende-se que toda sequência extraída do conjunto, possui uma subsequência convergente. Ou seja, se é um conjunto seqüencialmente compacto e é uma seqüência de pontos pertencentes a , então existe uma subseqüência tal que:

Um conjunto é dito fechado se toda sequência convergente contida em converge em , ou seja:

e , então:

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma esfera de raio finito.

Lema de Bolzano-Weierstrass na retaEditar

Estebeleceremos o seguinte lema que nos permitirá dar seqüência à demonstração do teorema.

Seja  , uma sequencia limitada em  , então existe uma subsequência   convergente.

Demonstração: Primeiramente, defina  

Como   é limitada, existe um intervalo   tal que:

 

Seja   o ponto médio entre   e  .

Como  , deve haver pelo menos um destes intervalos com a propriedade que   pertence a ele infinitas vezes. Escolha um destes intervalos.

Defina   como qualquer elemento da sequência que pertence ao intervalo escolhido contando que   .

Se o intervalo escolhido foi aquele que fica à direita, então defina:

 

Caso contrário escolha:

 

Observe que:

 , ou seja, o comprimento do intervalo foi reduzido pela metade.

Repita este processo recursivamente, de forma a obter uma sequência de intervalos   e de pontos   com as seguintes propriedades:

  •  
  •  
  •  
  •  

Assim,   é uma sequência não-decrescente e limitada superiormente por  , portanto converge para um limite, digamos,  .   é uma sequência não-crescente e limitada inferiormente por  , portanto também converge para um limite  .

Mas  , portanto  . Como  , o teorema do confronto estabelece que   converge para o mesmo limite.

Lema de Bolzano-Weierstrass em mais dimensõesEditar

A demonstração pode ser feita de duas formas.

Uma delas é generalizar a demonstração acima para  :

Então seja   limitada em  , existe uma hipercubo (a rigor, um hiperparalelogramo) que contém a sequência:

 

Dividindo-se, em cada passo, o hipercubo em   sub-hipercubos, constrói-se uma sequência   da mesma forma como em  .

Agora escreva as componentes do vetor  . Como  , temos que cada componente está convergindo e, portanto, existe o limite:   O resultado segue.

Outra forma é por indução finita na dimensão m:

Para m = 1, temos o resultado em  

Se vale para  , então, dada uma sequência em  , temos que as coordenadas de 1 a m estão no  , portanto existe uma subsequência convergente para estas coordenadas. A m+1-ésima coordenada desta subsequência está em  , portanto existe um sub-sub-sequência que converge para esta última coordenada. Agora é fácil ver que esta sub-sub-sequência converge para todas coordenadas, logo converge em   - o que prova o resultado.

Fechado e limitado implica sequencialmente compactoEditar

Considere que um conjunto seja fechado e limitado, queremos mostrar que é sequencialmente compacto.

Seja   uma sequência extraída do conjunto, como o conjunto é limitado, a sequência também o é. Pelo lema acima, ela admite uma subsequência convergente. Como o conjunto é fechado, o limite pertence ao conjunto.

Sequencialmente compacto implica limitadoEditar

Seja   um conjunto não-limitado. Por não ser limitado, deve possuir uma sequência   tal que:   que, portanto não converge.

Logo o conjunto não é sequêncialmente compacto.

Sequencialmente compacto implica fechadoEditar

Seja   um conjunto seqüencialmente compacto e seja   um sequência convergente extraída de  , da compacidade, segue que o limite pertence a   e o resultado segue.

Ver tambémEditar