Teorema de Borsuk-Ulam

O Teorema de Borsuk–Ulam, conjecturado por Stanislaw Ulam e provado por Karol Borsuk, asserciona que toda função contínua da esfera n-dimensional no espaço euclideano n-dimensional mapeia algum par de pontos antípodas no mesmo ponto, ou seja, colapsa algum par de antípodas em um único ponto do espaço euclideano.

De acordo com (Matoušek 2003, p. 25), a primeira menção histórica deste enunciado aparece em (Lyusternik 1930). A primeira prova foi dada por Karol Borsuk, em 1933, onde a formulação do problema foi atribuída a Ulam. Desde então muitas provas alternativas foram descobertas por vários autores.

Sua primeira aplicação concerne à Topologia Algébrica. Este teorema permite, por exemplo, demonstrar o Teorema do ponto fixo de Brouwer que lhe é análogo em certos contextos. Permite também demonstrar resultados muito difíceis , como o Teorema do Sanduíche de Presunto. A partir dos anos 1970, foi muito usado para demonstrar resultados ligados à Teoria dos Grafos.

Uma versão mais forte do enunciado relacionado ao Teorema de Borsuk–Ulam é que toda aplicação que preserva pontos antípodas de em deve ter grau ímpar.

Teorema de Borsuk-Ulam em Dimensão umEditar

Enunciado: Seja   uma função contínua. Então existem dois pontos,   tais que  .

Em dimensão um, a prova é uma consequência direta de um resultado análogo ao Teorema do Valor Intermediário. Seja   a função contínua do círculo, cujo centro é escolhido sendo o vetor nulo, em   . Define-se a função   do círculo em   , que a   associa  . O teorema se reduz a mostrar que   admite um zero. Observe que a função   é uma função ímpar, logo  .

Seja   um ponto do círculo. Se  , o teorema já está demonstrado. Dentro do caso contrário, a imagem de   é conexa, posto que o disco é conexo. Esta imagem contém portanto o segmento de extremidades   e  . Este segmento contém o 0, que possui uma pré-imagem.Q.E.D.

Um corolário interessante: se dois fechados do círculo têm como união o círculo inteiro, um dos fechados deve conter dois pontos antípodas. Com efeito, sejam   e   os dois conjuntos fechados não vazios cuja união é o círculo. Considere a função   que ao ponto x do círculo associa a distância de x à A. O Teorema garante a existência de dois pontos x e -x com a mesma imagem por f. Se esta imagem é 0, x e -x estão ambos em A, caso A seja fechado, o que é nossa hipótese. No caso contrário, os dois pontos estarão em B e de novo, o corolário estará demonstrado.

Teorema de Borsuk-Ulam para Editar

Enunciado: Dada uma aplicação contínua  , então existe um ponto   de   tal que  .

Demonstração 1: Suponha que  ,  . Então a aplicação:

 

é uma aplicação contínua de   tal que   para todo  , o que é uma contradição. > Q.E.D.

Demonstração 2: (Contorno da demonstração) Um outro modo de demonstrar este resultado usa elegantemente o conceito de grupo fundamental. Raciocinamos por absurdo, e supomos que existe uma função contínua  . A aplicação   induz um homomorfismo entre o grupo fundamental de  , a saber:   e  . As imagens dos laços de   por   devem ser todas homotópicas a um ponto. Então construímos um laço cuja imagem não é homotópica a um ponto, e esta contradição demonstrará o teorema.

De fato, defina:

 

Observe que só podemos definir esta aplicação por causa da nossa hipótese por absurdo de que  . Podemos supor a esfera e o círculo ambos com centro no vetor nulo e raio 1. Defina o seguinte laço:

 

Observe que  , de modo que esta função é ímpar. Disto segue que:  .

Caso contrário existe uma função   tal que o laço   se escreve:

 ,com  . Podemos deduzir então que:

 

A função que associa   a   é contínua, definida num conjunto conexo e assumindo valores em um conjunto discreto, e é, portanto, constante. Segue que

 

Como   é um inteiro não nulo, temos que   não é homotópico a um ponto. De fato, o laço    voltas em torno do círculo. O morfismo   é um morfismo de um grupo trivial em um grupo isomorfo a   com imagem diferente do elemento neutro. Esta impossibilidade termina o argumento por absurdo. Q.E.D.

Como um corolário deste Teorema, temos que nenhum subconjunto de   é homeomorfo a  .

Teorema de Borsuk-UlamEditar

Seja   uma aplicação contínua. Então existe   tal que  .

Prova:Suponha, ab absurdo que   para todo  . Poderíamos então definir uma aplicação antípoda contínua   por associar a   o ponto  , que é o ponto pelo qual o vetor de origem em 0 e passando por   intersecta  , o que é uma contradição. Q.E.D.

CoroláriosEditar

  • Nenhum subconjunto de Rn é homeomofo a Sn.
  • O Teorema de Lusternik–Schnirelmann : Se a esfera Sn é coberta por n + 1 conjuntos abertos, então um deste conjuntos contém um par (x, −x) de pontos antípoda. (em verdade, este teorema é equivalente ao Teorema de Borsuk-Ulam)
  • O Teorema do Sanduíche de Presunto: Para quaisquer conjuntos compacto   em Rn podemos sempre encontrar um hiperplano dividindo cada um deles em dois subconjuntos de mesma medida.
  • O Teorema do ponto fixo de Brouwer (Matoušek 2003, p. 25; Su 1997).
  • O caso n = 2 é geralmente ilustrado dizendo-se que em qualquer instante dado, existe sempre um par de pontos antípodas na superfície da Terra com mesma temperatura e pressão barométrica. Isto pressupõe que a temperatura e a pressão barométrica variam continuamente na superfície terrestre.
  • O caso n = 1 pode ser ilustrado na afirmação que sempre existe um par de pontos antípodas no equador da Terra com a mesma temperatura; este caso está relacionado ao Teorema do Valor Intermediário.[1]

Referências

  • Munkres, J.R., Topology, 2nd. Edition. ISBN 0-13-181629-2.
  • May, J. P. A Concise Course in Algebraic Topology.

Ligações externasEditar