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Teorema de Cantor

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Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Cantor, em referência ao matemático alemão Georg Cantor possui fundamental importância.

Sua particularização na reta real recebe o nome de teorema dos intervalos encaixantes.

EnunciadoEditar

Seja   uma seqüência de conjuntos fechados limitados não-vazios encaixados, ou seja,  . Assuma, ainda, que  , ou seja, que o diâmetro dos conjuntos esteja convergindo para zero. O diâmetro é definido como:

 

Então a intersecção   é não vazia. Mais ainda, esta intersecção é formada por apenas um ponto.

DemonstraçãoEditar

Como cada   é não-vazio, podemos escolher um ponto   pertencente a ele:

 

Como  , temos que toda a seqüência   está contida em  .

Mas   é uma Sucessão de Cauchy, pois:

 , pois  .

Dado que toda Sucessão de Cauchy é convergente num espaço métrico completo, existe um ponto limite   tal que:

 

Como os conjuntos   são fechados e o limite de uma seqüência é invariante por cortes finitos, temos:

 

Assim  .

Para provar que   é, de fato, o único elemento pertencente à intersecção, considere, por absurdo que existam mais de um ponto nela, ou seja:

 , com  

O fato que   implica  

Escolha   tal que:

 

Da definição de diâmetro e do fato que  , deve valer:

 , um absurdo.

AplicaçõesEditar