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Teorema de Euler

uma generalização do pequeno teorema de Fermat
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Devido à numerosa produção teórica de Leonhard Euler, a expressão Teorema de Euler pode ser aplicada a um grande número de teoremas matemáticos e físicos:

  • O Teorema do Deslocamento de Euler, ou Teorema da Rotação de Euler, em Mecânica dos Corpos Rígidos
  • O Teorema da Distribuição de Euler, em Geometria
  • O Teorema do Tociente, ou Teorema de Fermat-Euler, em Teoria dos Números
  • O Teorema de Euler em Trigonometria
  • O Teorema de Euler sobre as Diferenciais Exatas, em Cálculo

Teorema de Euler na Teoria dos Números (Teorema do Tociente)Editar

Em teoria dos números, o Teorema de Euler (também conhecido como Teorema de Fermat-Euler) estabelece que se n é um inteiro positivo e a é um inteiro positivo co-primo de n então:

 

A expressão

 

significa que   e   se encontram na mesma "classe de congruência" módulo  , ou seja, que ambos deixam o mesmo resto se os dividirmos por  , ou, o que é equivalente,   é um múltiplo de  .

Um facto importante sobre módulos de números primos é o pequeno teorema de Fermat: se   é um número primo e   é um qualquer inteiro, então

 

Isto foi generalizado por Euler:

Para qualquer inteiro positivo   e qualquer inteiro   relativamente primo a  , tem-se:  , onde   denota a função totiente de Euler que conta o número de inteiros entre 1 e n que sejam coprimos em relação a n.

É necessário assinalar que o teorema de Euler é uma consequência do teorema de Lagrange, aplicado ao caso do grupo das unidades de um anel  .

O Teorema de Euler sobre as Diferenciais ExatasEditar

Em cálculo, uma diferencial, expressa na forma canônica  , é dita exata se existe uma função   tal que:

 
 

Mas

 
 

então