Teorema de Hahn-Banach

O Teorema de Hahn-Banach[1] é um dos principais resultados da Análise Funcional na Matemática. O Teorema apresenta condições para que funcionais lineares definidos em um subespaço de um espaço vetorial possam ser estendidos para todo o espaço. Aplicado para espaços normados, garante que exista um determinado funcional linear, contribuindo para a Teoria de Espaços Duais, que representa uma importante área da Teoria de Espaços Normados.

O Teorema foi inicialmente deduzido por H. Hahn (1927)[2]. Foi então apresentado em sua forma geral por Stefan Banach (1929)[3] e generalizado para espaços vetoriais complexos por H. F. Bohnenblust e A. Sobczyk (1938)[4].

Resultados PreliminaresEditar

Conjunto parcialmente ordenadoEditar

Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto   no qual é definida uma ordem parcial, ou seja, uma relação binária representada por   que satisfaz as seguintes condições:

  •   para todo  ;
  • Se   e  , então  ;
  • Se   e  , então  .

Lema de ZornEditar

O Lema de Zorn[1] é um axioma da Teoria dos Conjuntos, equivalente ao Axioma da Escolha. O lema pode ser apresentado como: se, em um conjunto não-vazio e parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado tem uma quota superior, então o conjunto tem um elemento maximal.

ExtensãoEditar

Seja um objeto matemático (por exemplo, uma transformação linear) definido em um subconjunto   de um conjunto  . Uma extensão[1] busca definir o objeto em todo o conjunto  , preservando determinadas propriedades válidas no subconjunto  .

No teorema de Hahn-Banach, o objeto a ser estendido é um funcional linear f definido em um subespaço   de um espaço vetorial  .

Funcional SublinearEditar

Um funcional sublinear[1] é uma função   de valor real definida em um espaço vetorial X com as seguintes propriedades:

  •   para todo  ;
  •   para todo  ,   e para todo  .

Enunciado do Teorema de Hahn-BanachEditar

O Teorema de Hahn-Banach[1] pode ser assim enunciado:

"Seja   um espaço vetorial no campo dos número reais e   um funcional sublinear em  . Seja ainda   um funcional linear definido em um subespaço   de   que satisfaça   para todo  . Então   possui uma extensão linear   de   para  , ou seja,   satisfaz   para todo   e   para todo  ."

DemonstraçãoEditar

A demonstração pode ser encontrada em [1]. Em termos gerais, inicialmente demonstra-se que o conjunto   de todas as extensões lineares   de   que satisfazem   pode ser parcialmente ordenado. Então, pelo Lema de Zorn, existe um elemento maximal   de  . Em seguida, define-se   em todo o espaço  .

Outras Versões do TeoremaEditar

Espaços Vetoriais ComplexosEditar

O Teorema de Hahn-Banach para espaços vetoriais complexos pode ser enunciado da seguinte forma[1]:

"Seja   um espaço vetorial no campo dos número reais ou dos números complexos e   um funcional em   de valor real que satisfaça as seguintes condições:

  •   para todo  ;
  •   para todo   escalar e para todo  .

Seja ainda   um funcional linear definido em um subespaço   de   que satisfaça   para todo  . Então   possui uma extensão linear   de   para  , ou seja,   satisfaz   para todo   e   para todo  ."

A demonstração segue de maneira análoga à demonstração da versão real do teorema.

Espaços NormadosEditar

O Teorema de Hahn-Banach para espaços normados pode ser enunciado da seguinte forma[1]:

"Seja   um funcional linear definido em um subespaço   de um espaço normado  . Então existe um funcional linear limitado   em   que é uma extensão de   para   e que possui a mesma norma, ou seja,  ."

A demonstração pode ser realizada a partir da primeira versão do teorema com  .

Versão GeométricaEditar

A versão geométrica do Teorema de Hahn-Banach pode ser assim enunciada:

"Seja   um espaço normado e   um subconjunto convexo e fechado de  . Dado  ,  , existe um funcional linear limitado   que satisfaz   para todo  ."

A demonstração segue a partir da definição de Funcional de Minkowski.

Consequências do Teorema de Hahn-BanachEditar

Funcionais Lineares LimitadosEditar

A partir do Teorema de Hahn-Banach, obtém-se o seguinte resultado[1]:

"Seja   um espaço normado e  ,  . Então existe um funcional linear limitado   em   que satisfaz   e  ."

A demonstração pode ser feita a partir da versão do Teorema para Espaços Normados, considerando o subespaço   de todos os elementos  , no qual   é um número escalar, e definindo em   o funcional  .

Norma de um vetorEditar

Outro resultado obtido a partir do Teorema de Hahn-Banach é dado por[1]:

"Seja   um espaço normado e   um vetor de  , então  , para todo funcional linear   de  ,  ."

Teorema de PhilipsEditar

O Teorema de Philips é pode ser considerado uma versão do Teorema de Hahn-Banach para transformações lineares:

"Seja   um espaço normado e   um subespaço de  . Seja ainda uma transformação linear limitada   definida em   cuja imagem está no espaço  . Então existe a extensão   definida em  , com imagem em  , que satisfaz   para todo   e  .

ReferênciasEditar

  1. a b c d e f g h i j Kreyszig, Erwin (1978). Introductory functional analysis with applications. New York: Wiley. OCLC 2818701 
  2. Hahn, Hans. «Uber lineare Gleichungssysteme in linearen Raumen». Journal Reine Angew. Math.: 157, 214-229 
  3. Banach, Stefan. «Sur les fonctionnelles linéaires II». Studia Math.: 3, 133-181 
  4. H. F., Bohnenblust; Sobczyk, A. «Extensions of functionals on complex linear spaces». Bull. Amer. Math. Soc.: 44, 91-93