Teorema de Heine-Borel

Em matemática, o teorema de Heine-Borel ou teorema de Borel-Lebesgue, estabelece que em um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado.

DiscussãoEditar

Um conjunto   é dito compacto se apresentar a seguinte propriedade:

Toda cobertura aberta admite uma subcobertura finita. Ou seja, se   são conjuntos abertos indexados por um índice   e:
 

Então existe uma família finita   que cobre  :

 

Esta propriedade é chamada de propriedade de Heine-Borel ou propriedade de Borel-Lebesgue.

Um conjunto   é dito fechado se toda sequência convergente contida em   converge para um ponto de  , ou seja:

 , então:  

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.

Um lema sobre a distância de um compacto a um ponto fora deleEditar

Mostraremos que se   é um conjunto compacto e   então existe um número  , tal que:

 

Para tal, defina:

 

É claro que   para todo ponto   em  .

Agora construa os abertos:

 , ou seja, a bola de centro y e raio  

Eles formam uma cobertura para  :

 

Usando a definição de compacidade, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos   tais que:

 

Por construção, os abertos   são disjuntos das bolas centradas em   de raio  :

 

Defina:

 

temos:

 

Tomando a união, temos:

 

Pela definição da bola  , temos que todo ponto do conjunto   está a uma distância não inferior a  , o que completa a demonstração.

Compacto implica fechadoEditar

Seja   um conjunto compacto e seja   seu complementar. O lema anterior mostra que   contém uma bola aberta em torno de cada um de seus pontos, logo é aberto.

Compacto implica limitadoEditar

Seja um conjunto não limitado, então ele possui uma seqüência com as seguintes propriedade:

  •  
  •  

Construa a cobertura:

 

A união dos   cobre todo o espaço, mas nenhuma subcobertura finita cobre toda a seqüência  .

Assim, nenhum conjunto não-limitado é compacto.

Fechado e limitado implica compactoEditar

Vamos utilizar o argumento do teorema de Bolzano-Weierstrass.

Para tal, considere um conjunto   fechado e limitado e suponha, por absurdo, que não seja compacto, ou seja, que exista uma cobertura de abertos e não admita subcobertura finita.

Por ser limitado, deve estar contido em algum hipercubo:

  •  

Faço bisseção de cada uma das arestas do hipercubo, de forma a obter   hipercubos menores. Considere os subconjuntos formados pela intesecção de   com cada um destes hipercubos menores. Pelo menos um desses conjuntos não pode ser coberto com uma subcobertura finita.

Prossiga o argumento recursivo para obter uma seqüencia de conjuntos fechados (pois cada hipercubo é fechado e a intersecção de fechados é um fechado) encaixados cujo diâmetro tende a zero. Aplique o teorema de Cantor para obter um ponto na intersecção de todos estes fechado que não pode ser coberto por subcobertura finita. Um absurdo.

AplicaçãoEditar

A forma com que se foi apresentado aqui os conjuntos compactos, podemos fazer uma ilustração com um importante resultado utilizado na Análise: funções contínuas levam conjuntos compactos em conjuntos compactos. De modo geral, esta propriedade vale para quaisquer espaços topológicos.

A seguir apresentaremos uma versão desse teorema para a análise real, considerando os conjuntos em  . O resultado que será apresentado seguirá de sua respectiva demonstração e vale lembrar que em outros contextos (ou seja, considerando   em alguma outra topologia que não seja   a demonstração seguirá da mesma forma já que usamos resultados que valem de mogo geral.

Teorema: Considere   uma função contínua de   em  . Sendo   compacto, então   é compacto.Editar

Demonstração: Dada uma cobertura qualquer de abertos para   de forma que   e onde cada   é aberto. Daí,

 

Como   é aberto e   é contínua então   é aberto para todo  . Além disso, já que   é compacto, então podemos extrair uma subcobertura finita de abertos da qual temos pelo Teorema de Borel-Lebesgue. Daí, existe   de modo que

 

Ou seja, dada uma cobertura qualquer de abertos, conseguimos uma cobertura finita para  . Logo este conjunto é compacto.

ReferênciasEditar