Teorema de Laplace

Em álgebra linear, o teorema de Laplace fornece uma expressão para o determinante de uma matriz quadrada qualquer em termos de determinantes de matrizes de ordem inferior.[1]

Enunciado do teoremaEditar

O determinante de uma matriz   é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos respectivos cofatores (ou complementos algébricos).

O cofator do elemento   de uma matriz é o escalar   definido por [2]

 
em que   representa a matriz que se obtém da matriz original pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Tem-se então que
 
ou
 
conforme seja escolhida a i-ésima linha ou a j-ésima coluna.

AplicaçãoEditar

O teorema de Laplace é normalmente utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem superior ou igual a 4. Ele também se poder aplicar a matrizes de ordem inferior, embora neste caso o cálculo do determinante seja usualmente mais simples, como o uso da regra de Sarrus para matrizes de ordem 3, por exemplo. Na prática, o que se faz é passar do cálculo do determinante de uma matriz de ordem   para o cálculo de   determinantes de matrizes de ordem  . O teorema pode ser aplicado sucessivamente até se obterem matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais simples de calcular.

Pode-se selecionar indiferentemente qualquer linha ou coluna da matriz para aplicar o teorema. No entanto, para simplificar os cálculos, é usual escolher a linha (ou coluna) que apresente mais zeros, visto que o método consiste em multiplicar cada elemento da linha (ou coluna) pelo seu cofator. Assim, no caso de o elemento ser 0, o produto é nulo, não havendo a necessidade de se calcular o cofator.

ExemploEditar

Considere-se a matriz

 
O determinante desta matriz pode ser calculado aplicando o teorema de Laplace à 1ª linha:
 
O mesmo resultado pode ser obtido aplicando o teorema à 2ª coluna:
 

Demonstração do TeoremaEditar

Vamos usar o princípio da indução finita [3], provando, inicialmente, que o teorema é válido para matrizes de ordem  . Considerando

 
e efetuando o desenvolvimento pela 1ª linha:

 

De forma análoga, os desenvolvimentos pela 2ª linha, 1ª coluna e 2ª coluna resultam em  , de modo que a propriedade é válida para  .

Na sequência, admitamos que a propriedade seja válida para determinantes de ordem   e provemos que ela também é válida para determinantes de ordem  . Seja   uma matriz de ordem  . Os primeiros menores (menores complementares) de   são determinantes de ordem  , os quais vamos denotar por  , sendo   a linha e   a coluna eliminadas da matriz  . Vamos usar o símbolo   para representar o menor que se obtém pela supressão das linhas   e   e das colunas   e   da matriz  . Assim,   é um determinante de ordem  .

Fixamos a coluna   da matriz   e determinamos

 

Desenvolvendo os determinantes   pela 1ª coluna, temos:

 

Na expressão de  , acima, tomamos as parcelas que contém  :

 

as parcelas que contém  :

 

as parcelas que contém  :

 
simplificadas com o uso da hipótese de indução. Prosseguimos da mesma forma até obtermos as parcelas que contêm  , de modo que:

 

Isso prova que  , isto é, o resultado vale para qualquer coluna  ,  . Com raciocínio análogo podemos provar que a propriedade é válida para qualquer linha   e com raciocínios semelhantes podemos provar que ela é válida para a 1ª linha e para a 1ª coluna, concluindo que o teorema é válido para matrizes de ordem  .

Complexidade assintóticaEditar

O teorema de Laplace não é computacionalmente eficiente para calcular determinantes. Sua complexidade no tempo é de  , não sendo indicado para situações práticas.[4][5]

Utilizando a triangularização de matrizes, é possível escrever um algoritmo capaz de calcular determinantes em tempo  ,[6] que é mais eficiente. O algoritmo é similar ao método de Eliminação de Gauss.

Referências

  1. Gabriel Alessandro de Oliveira. «Teorema de Laplace». R7. Brasil Escola. Consultado em 1 de junho de 2013 
  2. «Adjunta de uma matriz e suas propriedades». 17 de novembro de 2006. Consultado em 11 de março de 2020 
  3. IEZZI, Gelson (1977). Fundamentos de matemática elementar, 4: sequências, progressões, determinantes e sistemas lineares. São Paulo: Atual. ISBN 9788535717488 
  4. Felipe, Henrique (19 de agosto de 2017). «Complexidade Algorítmica do Teorema de Laplace no Cálculo de Determinantes». Blog Cyberini. Consultado em 9 de abril de 2018 
  5. Felipe, Henrique (18 de novembro de 2013). «Teorema de Laplace em Java». Blog Cyberini. Consultado em 9 de abril de 2018 
  6. Felipe, Henrique (8 de outubro de 2017). «Cálculo de Determinantes via Triangularização». Blog Cyberini. Consultado em 10 de abril de 2018 

BibliografiaEditar