Teorema de Nielsen–Schreier

O Teorema de Nielsen-Schreier é um importante resultado da Teoria dos Grupos que demonstra que todo subgrupo de um grupo livre é livre sobre algum conjunto.

Conjuntos fechados por prefixosEditar

Seja um grupo livre sobre o conjunto . Um subconjunto de será dito fechado por prefixos quando para toda palavra , , reduzida como escrita, temos . Note que um subconjunto fechado por prefixos necessariamente contém a palavra vazia . (É verdade que o grupo livre é construído como o conjunto de classes de equivalência de palavras, mas é natural identificar uma classe com o único elemento em forma reduzida que contém.)

Transversais de SchreierEditar

Se é um subgrupo do grupo livre , uma transversal à direita de em será dita transversal de Schreier quando for um subconjunto fechado por prefixos. É um fato que, dado um subgrupo de um grupo livre, existe uma transversal de Schreier correspondente.

O enunciadoEditar

Teorema. (Nielsen-Schreier)[1][2][3]

Seja um grupo livre sobre o conjunto e seja . Fixe uma transversal à direita para em e, dado um elemento , seja o único elemento de tal que . Assuma-se que . Então

  • O subgrupo é gerado pelo conjunto .

A cada elemento não-idêntico do conjunto dos , , associe um símbolo e forme o conjunto .

  • Se a transversal for uma transversal de Schreier, o epimorfismo que estende é um isomorfismo. Em outras palavras, o (sub)grupo é livre, livremente gerado por . Vale também que tem posto .

A substância do Teorema está no segundo item. Com efeito, o que se afirma no primeiro item independe da liberdade do grupo em questão. Temos então a seguinte

Afirmação. Seja um grupo gerado pelo subconjunto . Se e é uma transversal à direita para em com , então .

Para ver por que a afirmação segue, note-se primeiro que , pois se . Portanto se , podemos realizar o seguinte malabarismo simbólico:

Continuando, obtemos , onde está no subgrupo gerado proposto e . Como o subgrupo gerado claramente é subgrupo de , temos , donde , finalizando o argumento. Como corolário, obtemos que são finitamente gerados subgrupos de índice finito de grupos finitamente gerados; além disso, o número mínimo de geradores de tal subgrupo é majorado pelo produto de seu índice pelo número mínimo de geradores do grupo que o contém.

Note que, em geral, para uma transversal com , temos a transversal na qual ; claramente (barras duplas evidentemente se referem à nova transversal). Logo o conjunto gerador obtido nas considerações anteriores torna-se .

O Teorema de Schreier-ReidemeisterEditar

O Teorema de Nielsen-Schreier permite exibir uma apresentação de um subgrupo a partir de uma para o grupo que o contém. Para isso, temos o seguinte

Teorema. (Schreier-Reidemeister)

Seja o grupo apresentado , isto é, , o subgrupo pelo qual estamos fatorando sendo o fecho normal do subgrupo gerado pelo conjunto de relatores. Seja um subgrupo de e seja a pré-imagem de em . Se é um isomorfismo de com o grupo livre sobre o conjunto e se é uma transversal qualquer de em , então temos a apresentação , onde o conjunto de relatores é .

A demonstração é imediata pois temos a igualdade entre fechos normais .

É também imediato o seguinte

Corolário. São finitamente apresentáveis subgrupos de grupos finitamente apresentáveis que possuem índice finito.

Haja vista que o índice da pré-imagem será finito, implicando que o será também o posto da pré-imagem como grupo livre; além disso, .

Um critério para infinitudeEditar

O objetivo nesta seção é provar o seguinte

Teorema. Seja . Suponha que . Se houver um grupo e um epimorfismo tal que a ordem do elemento é precisamente , então o grupo é infinito.

Começaremos com um

Lema. Se tem apresentação , com conjuntos finitos e , então a abelianização possui infinitos elementos. Em particular, é um grupo infinito.

Prova. Seja , . Passando para a abelianização e adotando a notação aditiva, podemos ver os relatores em como polinômios homogêneos de grau em — de fato, em . Por exemplo, o relator deve corresponder ao polinômio . É fato elementar da Álgebra Linear que existe um elemento em que anula todo elemento de (heurística: há mais incógnitas do que equações); existe, pois, um elemento em que anula todo elemento de (multiplique a solução anterior por um inteiro adequado). Escolha uma solução , digamos, com . O Teorema de von Dyck garante então que a associação estende-se a um homomorfismo . Possuindo uma imagem homomorfa infinita, uma vez que , segue o Lema.

Prova do Teorema. Se for infinito, não há nada a fazer. Suponha então finito de ordem , de forma que tem índice finito em . Seja a pré-imagem de no grupo livre sobre , . Por Nielsen-Schreier, podemos escolher um isomorfismo , . Por Schreier-Reidemeister, temos , o conjunto sendo uma transversal à direita fixa para em . Para cada temos relatores. A ideia principal da demonstração é encontrar relatores redundantes, de modo que o Lema venha à mão. Fá-lo-emos do seguinte modo: escolha um elemento da transversal, digamos . Note que as classes são duas a duas distintas: caso não fossem, teríamos para algum . Por normalidade de , ter-se-ia , donde, em , , isto é, — absurdo pois a ordem de é . Temos então elementos de , . Agora para algum . Daí, os relatores oriundos de tais elementos da transversal são mutuamente conjugados, logo, destes, precisamos de apenas um. Escolhendo um elemento da transversal diferente daqueles já obtidos, podemos repetir o argumento até a exaustão dos relatores. Vê-se facilmente agora que são necessários apenas dos relatores iniciais. Isso claramente se repete para . Portanto, tem uma apresentação com geradores e relatores. Por hipótese, o número de geradores excede o número de relatores; apelando ao Lema, temos infinito, finalizando a demonstração.

Exemplo. O grupo é infinito. Temos . Considere as permutações e escolha . Em geral, o grupo , intimamente relacionado com certas tesselações triangulares de planos (no sentido amplo de geometrias Euclidianas ou não), é infinito se, e somente se, . É possível mostrar que, dada uma tripla de inteiros maiores que , existem elementos do grupo das transformações fracionais lineares do plano complexo estendido , tais que , , . Por outro lado, as únicas triplas daquela forma satisfazendo são , , , . No primeiro caso, vê-se facilmente que se trata de um grupo diedral . Nos casos restantes, temos, respectivamente, , , . Considere as permutações , , . Note que , e . Em , temos ; além disso as classes são duas a duas distintas e esgotam o espaço de classes , logo . Como e dividem a ordem de , temos a igualdade. Usando ideias similares, mas em , prova-se que é finito de ordem no máximo ; portanto, é um isomorfismo . Em há um subgrupo que é uma imagem homomorfa de , portanto é finito de ordem no máximo . Usando as potências de como representantes de classes módulo tal subgrupo, mostra-se que é finito de ordem no máximo , permitindo-nos concluir que é um isomorfismo . Ideias inteiramente análogas mostram que , é um isomorfismo .

Um último exemploEditar

Seja e . Afirmo que é um grupo Abeliano livre de posto , isto é, . Primeiro, temos . De fato, , já que e ; logo, o quociente tem apresentação .

Seja a imagem inversa de em (usar-se-á o mesmo símbolo para denotar um elemento de e sua imagem em ; esperadamente, não haverá confusão). Temos a transversal de Schreier para . Pelo Teorema de Nielsen-Schreier, é livre de posto , com a associação (estendendo-se a) um isomorfismo cuja inversa será denotada por . Calculando, temos , ,,, , , . Note que os elementos de obtidos de comprimento são permutações cíclicas uns dos outros, portanto são conjugados, logo constituem um conjunto de relatores redundantes, dos quais precisamos de apenas um; o mesmo vale para aqueles de comprimento . O gerador some. Temos daí que . Finalmente, e ; agora é fácil estabelecer, por exemplo, via Teorema de Von Dyck, um isomorfismo . Isso prova a afirmação inicial. Note que como subproduto desses argumentos, obtemos como um produto semidireto .


ReferênciasEditar

  1. ROBINSON, Derek J. (1996). A Course in the Theory of Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387944613 
  2. JR, Marshall Hall. The Theory of Groups. Providence, RI: AMS-Chelsea Publishing. ISBN 0821819674 
  3. MAGNUS, Wilhelm; SOLITAR, Donald; Karrass, Abraham. Combinatorial Group Theory. United States: Dover Publications. ISBN 0486438309