Teorema de Noether
O teorema de Noether é um resultado da teoria de sistemas dinâmicos. A primeira versão do teorema foi demonstrada em 1918[1] por Emmy Noether.
Ela provou que toda grandeza física conservativa corresponde a um grupo contínuo de simetrias das equações. Simetria aqui é entendida como uma transformação matemática que deixa as equações inalteradas em sua essência, sendo que todas as simetrias possíveis formam um grupo (no sentido matemático do termo). Um grupo contínuo é um grupo de simetrias definidas por um número que pertence ao conjunto dos Reais.
O enunciado do teorema do ponto de vista matemático diz que para cada grupo uniparamétrico de difeomorfismos de um sistema dinâmico Lagrangeano existe uma constante do movimento.[2] Em mais detalhes, em um sistema de equações diferenciais ordinárias nas funções no tempo , , dada uma solução das equações , e uma operação nesta solução que dependa de um parâmetro real e que seja contínua de tal forma que é também solução do mesmo sistema, então existe uma constante independente do tempo associada a esta transformação.
Por exemplo, se a equação em questão for a segunda lei de Newton e a transformação for a rotação dos eixos espaciais , ou na direção do eixo de simetria por um ângulo (real) , que formam um contínuo, então a grandeza física conservativa associada é o momento angular (na direção do eixo ). Outros dois exemplos importantes são: a família de translações numa determinada direção do espaço leva a conservação da quantidade de movimento, e a simetria temporal implica a conservação da energia.
Informalmente, podemos apresentar o teorema de Noether dizendo que: "Para cada família de simetrias corresponde uma lei de conservação".[3]
Demonstração
editarA demonstração se baseia em utilizar o principio da ação conjuntamente das variações do tempo e das velocidades e coordenadas generalizadas, na função de Lagrange teremos o termo L cujo que a sua variação infinitesimal é L', o mesmo vale para o tempo e para as velocidades e coordenadas generalizadas, utilizando o principio da ação podemos encontrar a equação que descreve de maneira matemática o teorema de Noether.
S = \int_{t_0}^{t} L \, dt
\Delta S = S' - S = 0
S' = \int_{t_0}^{t} L' \, dt'
S = \int_{t_0}^{t} L \, dt
\Delta S = \int_{t_0}^{t} (L' \frac{dt'}{dt} - L) \, dt
\Delta S = \int_{t_0}^{t} (L' \frac{d(t + \delta t)}{dt} - L) \, dt
como estamos tratando de variações infinitesimais em uma aproximação de primeira ordem tem-se que L' = L
\Delta S = \int_{t_0}^{t} \left( \frac{d}{dt} (L \delta t) + \Delta L \right) \, dt
\Delta_{\bar{}} L = \Delta L - \delta t \frac{dL}{dt}
\Delta_{\bar{}} L = (\Delta q_a - \delta t \dot{q}_a) \frac{\partial L}{\partial q_a} + (\Delta \dot{q}_a - \delta t \ddot{q}_a) \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a}
\Delta_{\bar{}} L = \Delta_{\bar{}} q_a \frac{\partial L}{\partial q_a} + \frac{d}{dt} \left(\Delta_{\bar{}} q_a \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} \right)
\Delta S = \int_{t_0}^{t} \left( \frac{d}{dt} (L \delta t) + \Delta_{\bar{}} q_a \frac{\partial L}{\partial q_a} \right) dt + \int_{t_0}^{t} \frac{d}{dt} \left(\Delta_{\bar{}} q_a \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} \right) dt
\frac{\partial L}{\partial q_a} + \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} \right) = 0
\frac{d}{dt} (L \delta t) + \Delta_{\bar{}} q_a \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} = 0
A versão quântica do teorema está associada a diferentes resultados, como o chamado teorema de Wigner e o teorema de Stone.[4]
Referências
- ↑ Noether E (1918). «Invariante Variationsprobleme». Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse. 1918: 235–257
- ↑ V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer (1989); I. M. Gelfand, V.S. Fomin, Calculus of Variations, Dover (2000).
- ↑ «Emmy Noether's revolutionary theorem explained, from kindergarten to PhD». The Perimeter Institute. Consultado em 24 de julho de 2018
- ↑ M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press (1981); A. Jaffe, J. Glimm, Quantum Physics: A functional integral point of view, Springer (1984); S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press.