Teorema de Picard-Lindelöf

Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais ordinárias, o teorema de Picard-Lindelöf estabelece condições suficientes para a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de para o problema de valor inicial:[1]

onde é uma função contínua na variável e Lipschitz contínua na variável .

Algumas vezes, notadamente na França, este teorema é chamado de Teorema de Cauchy-Lipschitz. Os nomes do teorema são em honra aos matemáticos Charles Émile Picard, Ernst Leonard Lindelöf, Rudolf Lipschitz e Augustin Louis Cauchy.

EnunciadoEditar

Seja   uma função contínua tal que:

  para algum   positivo.

Então existe um número   positivo tal que o problema de valor inicial

 

admite uma única solução no intervalo  .

As iterações de PicardEditar

Este teorema admite uma demonstração construtiva cujo cerne são as iterações de Picard. Estas iterações consistem em definir as seguintes funções indexadas por  :

 
 

UnicidadeEditar

Assuma que   e   sejam solução do problema, então a diferença   satisfaz:

 

Integrando temos:

 

Usando a condição de Lipschitz, temos:

 

Uma simples aplicação do lema de Gronwall nos permite concluir que   e, portanto,   como queríamos. A demonstração no intervalo   é perfeitamente análoga.

ExistênciaEditar

Como   é contínua em  , existe uma constante   tal que:

 

Fixe   tal que:

 

Por simplicidade e sem perda de generalidade considere  . Defina as iterações de Picard:

 
 

É fácil estabelecer por indução que:

 

Isto garante que  

Necessitamos estabelecer a seguinte estimativa por indução em  :

 
  • Base:
 
 
  • Indução:
 
 
 

Como  , temos que as funções   convergem uniformemente no intervalo   para uma função contínua  

Tomando o limite em:

 

temos:

 

Neste limite usamos que   uniformemente, isto é consequência da continuidade uniforme que é válida para funções contínuas em conjuntos compactos.

Como   é contínua em  , podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo:

 

E o resultado segue.

GeneralizaçõesEditar

O teorema pode facilmente generalizado para espaços de Banach, onde o problema de valor inicial toma a seguinte forma:

Seja   uma função contínua tal que:

  para algum   positivo. Onde   é um espaço de Banach e   é uma aberto contido nele.

Então existe um número   positivo tal que o problema de valor inicial

 

admite uma única solução no intervalo  .

A derivada   deve ser entendida no sentido de Fréchet.

A demonstração se faz de forma perfeitamente análoga, definindo as iterações de Picard.

ObservaçõesEditar

  • O teorema de Picard-Lindelöf estabele apenas existência local, ou seja, em torno de alguma vizinhança da condição inicial.
  • As condições do teorema são suficientes, porém não são necessárias.

Exemplos e contra-exemplosEditar

  • O problema:
 [2]

satisfaz as condições do teorema e, de fato, sua solução é dada por:

 
  • O problema:
 

não satisfaz as condições do teorema, pois   não é lipschitziana na origem. Este problema admite, no entanto, soluções, embora não haja unicidade. Duas possíveis soluções são:

 
 

Referências

  1. Sotomayor, Jorge (2011). Equações Diferenciais Ordinárias. [S.l.: s.n.] ISBN 9788578611187 
  2. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 19 de março de 2016