Teorema de Poynting

Em Eletrodinâmica e Eletromagnetismoo teorema de Poynting expressa a lei da conservação da energia para o campo eletromagnético, sob a forma de uma equação diferencial parcial, estabelecida pelo físico britânico John Henry Poynting.[1]

O teorema de Poynting é análogo ao teorema de trabalho e energia da mecânica clássica, e matematicamente semelhante à equação da continuidade, pois relaciona a energia armazenada no campo eletromagnético ao trabalho feito sobre uma distribuição de carga pelo campo elétrico, através do fluxo de energia por unidade de tempo.

DefiniçãoEditar

GeralEditar

Em palavras, o teorema é um balanço de energia[2]:

taxa de transferência de energia (por unidade de volume) a partir de uma região de espaço é igual à taxa de trabalho realizado(por unidade de tempo) sobre uma distribuição de carga, mais o fluxo de energia deixando essa região.

Relaciona a derivada temporal da densidade de energia eletromagnética com o fluxo de energia e a taxa em que o campo elétrico realiza um trabalho sobre uma distribuição de cargas.

Na forma diferencial, pode ser expressada pela fórmula:

                                               

  é a divergência do vetor de Poynting (fluxo de energia saindo da região),   o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma distribuição de cargas (J é a Densidade de corrente livre devido ao movimento das cargas), e u é a energia armazenada no campo eletromagnético, dada pela formula:

                               

em que D é o deslocamento elétrico, S é o vetor de PoyntingB representa a densidade de fluxo magnético e H a intensidade de campo magnético.

A partir do teorema da divergência, o teorema de Poynting pode ser reescrito na forma integral:

                         

onde  .é o vetor de Poynting instantâneo,   e   são as constantes de permeabilidades magnética e elétrica do vácuo respectivamente.

Engenharia ElétricaEditar

Do ponto de vista da engenharia elétrica, o teorema geralmente é escrito com o termo densidade de energia eletromagnética   ampliado, de forma que se assemelha à equação da continuidade:

                                      

Onde:

  •   é a permissividade elétrica do vácuo;
  •   é a permeabilidade magnética do vácuo;
  •   é a potência reativa acumulada no campo elétrico;
  •  é a potência reativa acumulada no campo magnético;
  •   representa a densidade de energia elétrica dissipada pela força de Lorentz agindo sobre distribuições de carga.

Verificação do TeoremaEditar

Usando o teorema na forma integral, é simples demonstrar a validade do mesmo em um fio circulando uma corrente contínua.[3]

Considere uma corrente   contínua em um comprimento   de um fio de raio  . Agora, considerando que os campos elétrico e magnético não variam com o tempo, a taxa de variação da energia armazenada nos mesmos é igual a zero, portanto:

 
(a) Uma corrente contínua, fluindo na direção +z em um fio de raio a. (b) Seção transversal do fio mostrando a orientação dos campos e o vetor de Poynting instantâneo na superfície do fio.

 

A corrente é assumida como estando uniformemente distribuída, de modo que a densidade de corrente seja:

 

sendo   o vetor unitário apontando na direção +z.

Pela lei de Ohm, o campo elétrico é

 

sendo   a condutividade elétrica do fio.

No membro direito do teorema, usando coordenadas cilíndricas, temos:

 

No membro da esquerda, precisamos de H. Aplicando a lei de Ampère, podemos determinar H na superfície do fio como sendo

 

sendo   o vetor unitário na direção tangente ao fio.

O vetor de poynting instantâneo é:

 

 

sendo   o vetor unitário na direção radial do fio.

O vetor   está direcionado radialmente para o interior do fio. Integrando sobre a superfície, temos:

 

Esta parte do teorema diz que   é a potência fluindo para fora do fio.

Aplicando esses valores no teorema, temos

 

 

Logo, se não há uma variação na energia armazenada no campo eletromagnético que flui nessa região, a potência que flui para fora dessa região do fio é dissipada na forma de trabalho sobre as cargas por efeito joule.

ReferênciasEditar

  1. Poynting, J. H. (1884). «On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 175: 343–361. doi:10.1098/rstl.1884.0016 
  2. Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, p.364, ISBN 81-7758-293-3
  3. Applied Electromagnetics: Early Transmission Lines Approach, Stuart M.Wentworth, John Wiley & Sons, Techbooks 2007, p.358-360, ISBN 85-7780-426-7