Teorema de Rolle

Em matemática, nomeadamente em análise, o teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua $f$ definida em um intervalo fechado $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b),$ se $f(a)=f(b)$ então existe algum ponto $c$ em $(a,b)$ onde a tangente ao gráfico de $f$ é horizontal, isto é,

$$f'(c)=0.$$

Colocando em linguagem comum, o teorema afirma que, em qualquer função contínua de intervalo delimitado por pontos $A$ e $B$ de mesma altura, ou mesma coordenada vertical, há algum ponto C em que a derivada da função, isto é, sua taxa de variação instantânea é nula.

É denominado em memória de Michel Rolle.

Intuição

Ilustração do Teorema de Rolle

O enunciado do teorema é intuitivo considerando a exigência de continuidade da própria derivada (se existente) de uma função $f(x)$: se $a$ e $b$ são as coordenadas horizontais de pontos $A$ e $B$ de mesma altura, extremos de um intervalo, então a função $f(x)$ cresce, decresce ou permanece constante para $x>a$, nas vizinhanças de $A$. Se a função é constante, o resultado é trivial: sua derivada é nula em todo o intervalo. Se cresce, sabe-se que eventualmente tem de decrescer para retornar à mesma coordenada vertical do ponto $A$ para chegar ao ponto $B$. Por $f(x)$ ser contínua e diferenciável nesse intervalo, sua derivada também o é, e como a derivada $f'(x)$ começa positiva nas vizinhanças de $A$ e, conforme o valor de $x$ aumenta, torna-se negativa antes de chegar ao ponto $B$, é necessário que exista um ponto tal que $f'(x)=0$. O mesmo raciocínio é aplicável a uma função de derivada inicialmente negativa e posteriormente positiva.

Demonstração

Como $f$ é contínua, então, pelo teorema de Weierstrass, admite no intervalo $[a,b]$ um máximo $M$ e um mínimo $m.$

Primeiro, suponha que $M=m$. Então $f$ é constante no intervalo considerado e, consequentemente, a derivada é $0$ em todos os pontos. Portanto, o teorema é verdadeiro neste caso.

Suponha agora que $M\neq m$. Então a função assume no interior do intervalo $[a,b]$ um máximo, um mínimo ou até os dois. Admita-se, sem perda de generalidade, que $f$ assume o valor máximo $M$ no ponto $c$ tal que $a<c<b.$

Então, para valores de $x<c$, temos $x-c<0$ e também $f(x)-f(c)\leq 0$. Portanto,

${\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\geq 0.$

Como $f$ é diferenciável no intervalo $(a,b)$, segue que

$\lim _{x\to c^{-}}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}=f'(c)\geq 0.$

Para valores de $c$ à direita de $x,$ temos $x-c>0$ e $f(x)-f(c)\leq 0$. Portanto,

${\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\leq 0,$

e, também,

$\lim _{x\to c^{+}}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}=f'(c)\leq 0.$

Mas então conclui-se que

$f'(c)\geq 0$ e $f'(c)\leq 0,$

o que só é possível se

$f'(c)=0,$

provando-se assim o teorema.

A demonstração seria análoga se em vez de um ponto de máximo admitíssemos a existência de um ponto de mínimo no intervalo.

Corolários

1. Resulta do teorema de Rolle que, se $I$ for um intervalo de R e se $f$ for uma função derivável de $I$ em R, então entre quaisquer dois zeros de $f$ há pelo menos um zero da derivada. Isto pode ser usado para provar por indução que qualquer polinómio $p(x)$ de grau $n$ com coeficientes reais tem, no máximo, $n$ raízes (excepto, naturalmente, no caso do polinómio nulo).
2. Se $I$ for um intervalo de R e se $f$ for uma função derivável de $I$ em R, entre dois zeros consecutivos da derivada não pode haver mais do que um zero de $f$ (podendo não existir nenhum).