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Teorema de Stone-Weierstrass

teorema

Em matemática, o teorema da aproximação de Stone-Weierstrass afirma que toda função real contínua cujo domínio é um intervalo compacto, ou seja, fechado e limitado pode ser aproximado uniformemente por polinômios.

Várias generalizações deste teorema foram estabelecidas, como, por exemplo, generalizando a família de aproximantes (que podem ser substituídos por qualquer álgebra de funções com certas propriedades) ou substituindo o domínio por um compacto qualquer.

Demonstração da versão realEditar

A versão real deste teorema admite uma demonstração construtiva simples usando os polinômios de Bernstein.

Seja   uma função contínua. Então para todo  , existe um polinômio   tal que:

 , ou seja:  .

Dem.: Sem perda de generalidade, podemos supor   e  .

Primeiramente, estabeleçamos uma estimativa:

  (Veja polinómios de Bernstein)

Como   é uma função contínua em um compacto,   é também uniformemente contínua. Logo existe   tal que   sempre que   e   e ainda existe uma constante   tal que  .

Agora, defina:

 

Como  , vale que   e vale a estimativa:

 

onde   e  .

 
 

E o resultado segue, escolhendo   e  .

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