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Teorema de redução de modalidades em S5

(Redirecionado de Teorema de redução em S5)

O teorema de redução de modalidades em S5 (um sistema de lógica modal construído com a adição da euclidianidade e reflexividade à lógica K) diz que qualquer fórmula de grau modal maior do que 1 (que apresente mais de um operador modal aplicado a uma mesma fórmula) é reduzível em S5 a uma fórmula de primeiro grau. Formalmente:

  • e , em que pode ser ou .

Índice

Procedimento para reduçãoEditar

É suficiente mostrar que qualquer fórmula de segundo grau pode ser reduzida a uma de primeiro grau, visto que a repetição desse procedimento possibilita tratar os casos de maior grau. As equivalências necessárias para aplicar o procedimento serão as seguintes (todas válidas em S5):

Equivalências necessáriasEditar

  • R1:  
  • R2:  
  • R3:  
  • R4:  
  • K3:  
  • K6:  
  • S5(4):  
  • S5(5):  
  • S5(6):  
  • S5(7):  

MétodoEditar

K3 (lei de distribuição do  ) nos permite distribuir   sobre qualquer conjunção. Se qualquer dos membros da conjunção começar com um operador modal, a lei de redução apropriada nos possibilitará "deletar"   quando ele encontrar com este operador. Assim,   se torna não somente   por K3, mas também   por R1. Dizemos nesse caso que   foi absorvido por  .

S4(4) e S4(5) nos permitem o mesmo tipo de distribuição e absorção quando   precede uma disjunção, desde que pelo menos um dos lados originais dela comece com um operador modal. (S4(4) e S4(5) são definidos apenas para disjunções com dois membros. Se quisermos praticar a distrubuição do   sobre uma disjunção de n membros devemos tomar todos os elementos da disjunção, menos um com um operador modal, e tratá-los como um único elemento. Por exemplo:   forma:  , que aplicando S5(5) nos dá:   que por S4(4) nos dá:  . Não vamos para:  , visto que a fórmula já apresenta grau modal 1.

K6 (lei de distruibuição do  ), junto com S5(6) e S5(7) analogamente nos permitem executar a distribuição e absorção do   irrestritamente sobre uma disjunção e, como visto anteriormente, sobre uma conjunção. Estes são passos chaves no processo de redução para o grau 1.

Como dito anteriormente, é suficiente mostrar como reduzir uma fórmula de grau 2 para uma de grau 1. Há quatro passos neste processo, apesar de nem sempre serem necessários os quatro em todos os casos. Os três primeiros são diretos:

  • 1 - Primeiro eliminar todos os operadores com exceção de   e   usando as definições apropriadas.
  • 2 - Então eliminar todas as ocorrências de   imediatamente antes de um parêntese ou de um operador modal pelas leis de De Morgan e de interdefinição entre   e  .
  • 3 - Em seguida reduzir todas as modalidades iteradas (mais de uma em seqüência) para modalidades únicas pelas leis de redução R1-R4.
  • 4 - Se a fórmula resultante dos passos 1-3 ainda é de segundo grau, só pode ser porque ela, ou alguma parte dela, é da forma   ou  , em que   é de grau 1 e é ou uma conjunção ou uma disjunção.

Casos especiaisEditar

Considere o caso  . Há três possibilidades: (a)   é uma conjunção; nesse caso, desde que   se ditribui irrestritamente sobre conjunções, distribui-se   sobre a conjunção em  , deixando-o ser absorvido por qualquer operador modal que venha a encontrar no processo.

(b)   é uma disjunção em que pelo menos um dos lados começa com um operador modal; nesse caso, novamente distribuimos   e o deixamos ser absorvido.

(c)   é uma disjunção em que nenhum dos lados começa com um operador modal. Uma vez que   é de grau 1, só pode ser porque um dos lados da disjunção de   é uma conjunção com um operador modal nela. Para resolver este caso transforma-se   em uma conjunção, pela lei da distributividade ( ), e distribui-se   pela conjunção obtida. Por exemplo:

Se   é  , transforma-se, pela distributividade, em  

e então, por K3', em

 , podendo resolver como em (b), obtendo  , ou, caso seja impossível, aplicando mais uma vez a distributividade e K3.

A repetição desses passos sempre possibilitará ao   encontrar cada operador modal em  , não importa o quão profundamente imerso o operador esteja.

O caso de   pode ser resolvido de forma análoga, exceto que desta vez é quando   é uma conjunção em que nenhum dos lados começa com um operador modal que possa ser tratato diretamente, e a lei de distributividade se faz novamente necessária.

ResultadosEditar

Portanto, em S5, qualquer fórmula bem fundada (que não pode ser reescrita infinitamente) é equivalente a alguma fórmula de grau modal 1 em função de suas variáveis. (Verdade mesmo que a fórmula não contenha operadores modais; qualque fórmula bem fundada   é equivalente a  , sendo   alguma variável de  .) Não é difícil ver que só poe haver um número finito de funções modais (de qualquer conjunto de variáveis) de grau 1 distintas, visto que há apenas um número finito de fórmulas não-equivalentes.

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar

  • A new introduction to Modal Logic, G.E. Hughes e M.J. Cresswell, Routledge, 1996.