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Ângulo inscrito

(Redirecionado de Teorema do ângulo inscrito)

Em geometria, um ângulo inscrito é formado quando duas retas secantes de um círculo (ou, em casos extremos, quando uma reta secante e uma reta tangente do círculo) intersectam o círculo por um ponto comum.

Tipicamente, é mais fácil pensar em um ângulo inscrito como definido por duas cordas do círculo dividindo um ponto.

As propriedades básicas dos ângulos inscritos são discutidas nas proposições 20-22 do livro 4 dos Elementos de Euclides. Essas proposições garantem que o ângulo inscrito tem a metade da medida do ângulo central correspondente, que ângulos inscritos em um mesmo arco de uma corda são iguais e que a soma dos dois ângulos inscritos distintos correspondentes a uma determinada corda é 180°.

Medida do ângulo inscritoEditar

Um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco correspondente.

Assim, seja   o ângulo inscrito de medida   e   o ângulo central correspondente de medida  

Têm-se:

  ou  

[1]

DemonstraçãoEditar

Para demonstrar essa propriedade é preciso considerar 3 casos:

  1.   está num lado do ângulo.
  2.   é interno ao ângulo.
  3.   é externo ao ângulo.

1° CasoEditar

Têm-se que   pois ambos são raios da circunferência.

Assim tem-se que   é isósceles, o que implica   e  

Ainda no triângulo   tem-se   como sendo um ângulo externo. Logo, pelo teorema do ângulo externo, tem-se:

 

Logo,   e, como   vem  

2° CasoEditar

Tomando um ponto   sendo a intersecção de   com a circunferência e, sendo:

      e  

Analisando esse ângulos, pode-se observar que   é ângulo inscrito de arco correspondente   e que   é ângulo inscrito de arco correspondente  

Assim é possível relacionar esses dois ângulos, conforme foi demonstrado no 1° caso.

 

Logo,   e, como   vem  

3° CasoEditar

Tomando um ponto   de intersecção de   com a circunferência e, sendo:

      e  

Com isso, tem-se, seguindo o que foi demonstrado no primeiro caso:

 

Visto que   e   tem-se:  

Logo,   e, como   vem  

Logo, um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente.

Referências

  1. Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de matemática elementar 9: Geometria plana. São Paulo: Atual 

Ligações externasEditar

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