Teorema do ponto fixo de Banach

Em matemática, o teorema do ponto fixo de Banach, também conhecido como teorema da contração uniforme, é um dos resultados fundamentais em espaços métricos. Ele garante a existência e unicidade de pontos fixos em certas aplicações.

EnunciadoEditar

Seja   um espaço métrico completo não vazio com uma métrica  .

Uma aplicação   é dita uma contração uniforme, se existir uma constante   tal que:

 

O teorema estabelece que existe um único ponto fixo  , ou seja:

 

Demonstração da unicidadeEditar

Sejam   e   pontos fixos de  , então:

 
 
 

Como  , então  . Como sabemos que  , temos  , o que implica  .

Demonstração da existênciaEditar

Escolha um ponto qualquer   e construa a seqüência:

 

Mostraremos que esta é uma sucessão de Cauchy, para tal estime pela desigualdade triangular:

 

Agora usando a definição de contração temos:

 

De forma que:

 

 

Assim a   é uma sucessão de Cauchy e converge para algum ponto  

Devemos mostrar que   é, de fato, um ponto fixo. Para tal observe:

 

Passando ao limite, usando a continuidade de   (o que segue da própria definição de contração), temos:

 

E o resultado segue.

Ver tambémEditar