Teorema do ponto fixo de Brouwer

Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema do ponto fixo de Brouwer é um resultado sobre a existência de pontos fixos. Recebe o nome do matemático holandês Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

O teorema de Brouwer é muito útil para compreensão da topologia dos espaços euclidianos. É também o ponto de partida para a demonstração de outros teoremas do o teorema do ponto fixo de Schauder e o teorema do ponto fixo de Schaefer.

EnunciadoEditar

Seja   a bola unitária fechada em   e   uma função contínua. Então existe um ponto fixo  , ou seja:

 

ObservaçõesEditar

Caso trivial em uma dimensãoEditar

Seja   contínua, então a função   também é contínua. Ainda:

 
 

Portanto existe pelo menos um ponto   tal que   pelo teorema do valor intermediário. O que implica   e o resultado segue.

ReferênciasEditar

  • Dugundji, James. Topology. 1aedição. Boston: Allyn and Bacon, 1965
  • Evans, C. Lawrence. Partial Differential Equations. 3aedição. Providence, RI: AMS, 2002